Траектория

Вид траектории свободной материальной точки зависит от действующих на точку сил, начальных условий движения и от выбора системы отсчёта, а несвободной — также от наложенных связей.

Понятие о траектории имеет смысл и в отрыве от какого-либо реального движения. Но траектория, изображаемая в некоторой системе координат, сама по себе не даёт информации о причинах движения тела по ней, пока не выполнен анализ конфигурации поля действующих на тело сил в той же координатной системе.

Вид траектории не зависит от особенностей её прохождения материальной точкой, поэтому для задания траектории могут применяться не физические законы или модели, а средства дифференциальной геометрии.

Так, траектория иногда задаётся функцией/функциями, связывающ-ей/-ими координаты на линии движения точки:

${\displaystyle x=x_{min}\ldots x_{max}}$  в случае движения по прямой,
${\displaystyle y=y(x)}$  для плоского случая,
${\displaystyle y=y(x)}$  и ${\displaystyle z=z(x)}$  в объёмном случае.

Но здесь необходимы взаимная однозначность связи координат и отсутствие повторного прохождения материальной точкой каких-либо участков. Например, если тело двигалось по отрезку от ${\displaystyle x_{min}}$  до ${\displaystyle x_{max}}$  и назад, то траектория является «двойной» (туда-обратно) линией, что будет упущено при вышеуказанном подходе. Тем не менее, такое координатное задание траектории во многих простых ситуациях удобно.

В общем случае движение материальной точки в кинематике описывается зависимостью радиус-вектора от времени:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(t)}$ .

Такая зависимость представляет траекторию, давая избыток информации — кроме формы прочерчиваемой точкой геометрической линии, имея ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ , можно получить скорость и другие параметры движения. Задание ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$  подразумевает задание изменений трёх декартовых координат во времени:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$ , ${\displaystyle {\vec {k}}}$  — орты. Присутствие здесь времени ${\displaystyle t}$ , казалось бы, противоречит независимости траектории от деталей движения по ней, но на самом деле для задания именно траектории на место ${\displaystyle t}$  в выражениях ${\displaystyle x(t)}$ , ${\displaystyle y(t)}$ , ${\displaystyle z(t)}$  можно подставлять любую взаимно однозначную функцию ${\displaystyle T(t)}$ . Произвол не скажется на форме траектории, а будет «менять» скорость прохождения: скажем, при замене ${\displaystyle t}$  на ${\displaystyle T=2t}$  скорость во всех точках траектории удвоится.

В выбранной системе отсчета, кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве, может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны, находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях. При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны (не путать с радиус-вектором ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ), направленным к дуге из мгновенного центра поворота (не путать с началом отсчета радиус-векторов), находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. Прямая линия рассматривается как предельный случай кривой, радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности.

• Закон движения — зависимость радиус-вектора точки от времени ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ ;
• Путь — криволинейная координата вдоль траектории материальной точки (обычно обозначается символом ${\displaystyle S}$ );
• Длина пути — длина траектории, вычисляемая как

${\displaystyle \Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|{\dot {\vec {r}}}(t)|dt}$ ,
где цифры 1 и 2 маркируют начальное и конечное положения точки, соответственно;

• Перемещение — вектор из начального положения точки в конечное

${\displaystyle \Delta {\vec {r}}={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}$ ,
при этом всегда ${\displaystyle \Delta S\geq |\Delta {\vec {r}}|}$ ;

• Радиус кривизны — радиус дуги окружности, наилучшим образом аппроксимирующей траекторию в заданной точке.

Скорость материальной точки всегда направлена по касательной к дуге, используемой для описания траектории. При этом существует связь между величиной скорости ${\displaystyle v}$ , нормальным ускорением ${\displaystyle a_{n}}$  и радиусом кривизны траектории ${\displaystyle R}$  в конкретной геометрической точке:

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}}$ .

Не всякое движение с известной скоростью по кривой известного радиуса и найденное по приведённой выше формуле нормальное (центростремительное) ускорение связано с проявлением силы, направленной по нормали к траектории (центростремительной силы). Так, найденное по данным фотографии суточного движения светил ускорение любой из звёзд отнюдь не говорит о существовании вызывающей это ускорение силы, притягивающей её к Полярной звезде как центру вращения.

Представление траектории как следа, оставляемого движением материальной точки, связывает чисто кинематическое понятие о траектории, как геометрической проблеме, с динамикой движения материальной точки, то есть проблемой определения причин её движения. Фактически, решение уравнений Ньютона (при наличии полного набора исходных данных) даёт траекторию материальной точки.

Движение свободной материальной точки

В соответствии с первым законом Ньютона, иногда называемым законом инерции, должна существовать такая система, в которой свободное тело сохраняет (как вектор) свою скорость. Такая система отсчёта называется инерциальной. Траекторией такого движения является прямая линия, а само движение называется равномерным и прямолинейным.

Движение под действием внешних сил

в инерциальной системе отсчёта

Если в инерциальной системе скорость ${\displaystyle {\vec {v}}}$  движения объекта (для неподвижного в данной системе наблюдателя) с массой ${\displaystyle m}$  меняется по направлению, даже оставаясь прежней по величине, то есть тело производит поворот и движется по дуге с радиусом кривизны ${\displaystyle R}$ , то значит, это тело испытывает нормальное ускорение ${\displaystyle a_{n}}$ . Причиной, вызывающей это ускорение, является центростремительная сила, прямо пропорциональная этому ускорению. В этом состоит суть второго закона Ньютона:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{n}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {F}}}$  есть векторная сумма сил, действующих на тело, ${\displaystyle {\vec {a}}_{n}}$  — его ускорение, а ${\displaystyle m}$  — инертная масса.

В общем случае тело не бывает свободно в своём движении, и на его положение, а в некоторых случаях и на скорость, налагаются ограничения — связи. Если связи накладывают ограничения только на координаты тела, то такие связи называются геометрическими. Если же они распространяются и на скорости, то они называются кинематическими. Если уравнение связи может быть проинтегрировано во времени, то такая связь называется голономной.

Действие связей на систему движущихся тел описывается силами, называемыми реакциями связей. В таком случае сила, входящая в левую часть выражения закона Ньютона, есть векторная сумма активных (внешних) сил и реакции связей.

Существенно, что в случае голономных связей становится возможным описать движение механических систем в обобщённых координатах, входящих в уравнения Лагранжа. Число этих уравнений зависит лишь от числа степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему тел, положение которых необходимо определять для полного описания движения.

Если же связи, действующие в системе идеальны, то есть в них не происходит переход энергии движения в другие виды энергии, то при решении уравнений Лагранжа автоматически исключаются все неизвестные реакции связей.

Наконец, если действующие силы принадлежат к классу потенциальных, то при соответствующем обобщении понятий становится возможным использования уравнений Лагранжа не только в механике, но и других областях физики.

Действующие на материальную точку силы в этом понимании однозначно определяют форму траектории её движения (при известных начальных условиях). Обратное утверждение в общем случае несправедливо, поскольку одна и та же траектория может иметь место при различных комбинациях активных сил и реакций связи.

в неинерциальной системе отсчёта

Если система отсчёта неинерциальна (то есть движется с неким ускорением относительно инерциальной системы отсчёта), то в ней также возможно использование закона Ньютона, однако в левой части необходимо учесть так называемые силы инерции (в том числе, центробежную силу и силу Кориолиса, связанные с вращением неинерциальной системы отсчёта).

 

Уточнение о «привязке» траектории к выбору координатной системы принципиально, так как форма траектории зависит от этого выбора. Качественные и количественные различия траекторий возникают и между инерциальными системами, и если одна или обе системы неинерциальны.

Наблюдаемость траектории

Возможно наблюдение траектории при неподвижности объекта, но при движении системы отсчёта. Так, звёздное небо может послужить хорошей моделью инерциальной и неподвижной системы отсчёта. Однако при длительной экспозиции эти звёзды представляются движущимися по круговым траекториям.

Возможен и противоположный случай, когда тело явно движется, но траектория в проекции на плоскость наблюдения является одной неподвижной точкой. Это, например, случай летящей прямо в глаз наблюдателя пули или уходящего от него поезда.

Модификация формы траектории

 

Нередко оказывается, что форма траектории зависит от системы отсчёта, избранной для описания движения материальной точки радикальным образом. Так, прямолинейное равноускоренное движение (скажем, свободое падение) в одной инерциальной системе в общем случае будет параболическим в другой равномерно двигающейся инерциальной системе отсчёта (см. рис.).

В соответствии с принципом относительности Галилея, существует бесконечное множество равноправных инерциальных систем (ИСО), движение которых одна относительно другой не может быть установлено никаким образом путём наблюдения любых процессов и явлений, происходящих только в этих системах. Прямая траектория равномерного движения объекта в одной системе будет выглядеть также прямой в любой другой инерциальной системе, хотя величина и направление скорости будут зависеть от выбора системы, то есть от величины и направления их относительной скорости.

Вместе с тем Принцип Галилея не утверждает, что одно и то же явление, наблюдаемое из двух разных ИСО, будут выглядеть одинаково. Поэтому рисунок предупреждает о двух типичных ошибках, связанных с забвением того, что:

1. Истинно, что любой вектор (в том числе вектор силы) может быть разложен по крайней мере на две составляющие. Но это разложение совершенно произвольно и не значит, что такие компоненты существуют в действительности. Для подтверждения их реальности должна привлекаться дополнительная информация, в любом случае не взятая из анализа формы траектории. Например, по рисунку 2 невозможно определить природу силы F, так же как невозможно утверждать, что она сама является или не является суммой сил разной природы. Можно лишь утверждать, что на изображённом участке она постоянна, и что для формирования наблюдаемой в данной СО криволинейности траектории служит вполне определённая в данной СО центростремительная часть этой силы. Зная лишь траекторию материальной точки в какой-либо инерциальной системе отсчёта и её скорость в каждый момент времени, нельзя определить природу сил, действовавших на неё.

2. Даже в случае наблюдения из ИСО, форма траектории ускоренно движущегося тела будет определяться не только действующими на него силами, но и выбором этой ИСО, никак на эти силы не влияющим. Центростремительная сила, показанная на рисунке 2, получена формально, и её величина непосредственно зависит от выбора ИСО.

Пример для вращающейся системы

 

Представим себе работника театра, передвигающегося в колосниковом пространстве над сценой по отношению к зданию театра равномерно и прямолинейно и несущего над вращающейся сценой дырявое ведро с краской. Он будет оставлять на ней след от падающей краски в форме раскручивающейся спирали (если движется от центра вращения сцены) и закручивающейся — в противоположном случае. В это время его коллега, отвечающий за чистоту вращающейся сцены и на ней находящийся, будет поэтому вынужден нести под первым недырявое ведро, постоянно находясь под первым. И его движение по отношению к зданию также будет равномерным и прямолинейным, хотя по отношению к сцене, которая является неинерциальной системой, его движение будет искривлённым и неравномерным . Более того, для того, чтобы противодействовать сносу в направлении вращения, он должен мышечным усилием преодолевать действие силы Кориолиса, которое не испытывает его верхний коллега над сценой, хотя траектории обоих в инерциальной системе здания театра будут представлять прямые линии.

Но можно себе представить, что задачей рассматривающихся здесь коллег является именно нанесение прямой линии на вращающейся сцене. В этом случае нижний должен потребовать от верхнего движения по кривой, являющейся зеркальным отражением следа от ранее пролитой краски,оставаясь при этом над любой точкой прямой, проходящей в избранном радиальном направлении. Следовательно, прямолинейное движение в неинерциальной системе отсчёта не будет являться таковым для наблюдателя в инерциальной системе.

Более того, равномерное движение тела в одной системе, может быть неравномерным в другой. Так, две капли краски, упавшие в разные моменты времени из дырявого ведра, как в собственной системе отсчёта, так и в системе неподвижного по отношению к зданию нижнего коллеги (на уже прекратившей вращение сцене), будут двигаться по прямой (к центру Земли). Различие будет заключаться в том, что для нижнего наблюдателя это движение будет ускоренным, а для верхнего его коллеги, если он, оступившись, будет падать, двигаясь вместе с любой из капель, расстояние между каплями будет увеличиваться пропорционально первой степени времени, то есть взаимное движение капель и их наблюдателя в его ускоренной системе координат будет равномерным со скоростью ${\displaystyle v=g\Delta t}$ , определяемой задержкой ${\displaystyle \Delta t}$  между моментами падения капель; здесь ${\displaystyle g}$  — ускорение свободного падения.

Поэтому форма траектории и скорость движения по ней тела, рассматриваемая в некоторой системе отсчёта, о которой заранее ничего не известно, не даёт однозначного представления о силах, действующих на тело. Решить вопрос о том, является ли эта система в достаточной степени инерциальной, можно лишь на основе анализа причин возникновения действующих сил.

Таким образом, в неинерциальной системе, во-первых, кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями, а во-вторых, прямолинейность траектории является недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело не действуют никакие силы.

Согласно квантовомеханическим представлениям, в отношении движения микрочастицы (электрона или другой) в ограниченном пространстве следует говорить не о траектории ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ , а об эволюции плотности вероятности обнаружить частицу в заданной точке ${\displaystyle {\vec {r}}}$ . Эта плотность вероятности характеризуется квадратом модуля волновой функции ${\displaystyle |\psi ({\vec {r}},t)|^{2}}$ . Зависимость ${\displaystyle \psi }$  от её аргументов определяется с помощью уравнения Шрёдингера. Располагая волновой функцией, можно найти меняющееся со временем положение «центроида» ${\displaystyle <{\vec {r}}(t)>=\int {\vec {r}}|\psi ({\vec {r}},t)|^{2}dV}$  (интегрирование – по всему доступному частице объёму). В пределе, когда длина волны де Бройля частицы несопоставимо меньше размера пространственной области движения, такой подход становится эквивалентным привычному расчёту траектории.

• Сложное движение