Предикат

О предикатах в виноделии см. вина с предикатом

Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение. В лингвистике субъекту соответствует подлежащее, а предикату — сказуемое.

Предикат в программировании — выражение, использующее одну или более величину с результатом логического типа.

Далее в этой статье слово предикат используется в значении высказывательной формы.

Предика́т (${\displaystyle n}$ -местный, или ${\displaystyle n}$ -арный) — это функция с множеством значений ${\displaystyle \{0,1\}}$  (или {ложь, истина}), определённая на множестве ${\displaystyle M={{M}_{1}}\times {{M}_{2}}\times \ldots \times {{M}_{n}}}$ . Таким образом, каждый набор элементов множества ${\displaystyle M}$  характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если кортеж ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$  принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на нём 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

${\displaystyle P\left(x_{1},...,x_{n}\right)\equiv 1}$ 

если на любом наборе аргументов он принимает значение ${\displaystyle 1}$ .

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

${\displaystyle P\left(x_{1},...,x_{n}\right)\equiv 0}$ 

если на любом наборе аргументов он принимает значение ${\displaystyle 0}$ .

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение ${\displaystyle 1}$ .

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д.

Обозначим предикатом ${\displaystyle EQ(x,y)}$  отношение равенства («${\displaystyle x=y}$ »), где ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ . В этом случае предикат ${\displaystyle EQ}$  будет принимать истинное значение для всех равных ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$ .

Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ${\displaystyle (x,y,z)}$  для отношения «${\displaystyle x}$  проживает в городе ${\displaystyle y}$  на улице ${\displaystyle z}$ » или ЛЮБИТ${\displaystyle (x,y)}$  для «${\displaystyle x}$  любит ${\displaystyle y}$ » для ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$  принадлежащих ${\displaystyle M}$  , где множество ${\displaystyle M}$  — это множество всех людей.

Предикат — это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения: истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Логические операции

Конъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат ${\displaystyle A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)}$ , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката ${\displaystyle A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)}$  является пересечение множеств истинности предикатов A(x)  — T1 и B(x) — T2, то есть T = T1 ∩ T2. Например: A(x): «x — чётное число», B(x): «x кратно 3». A(x) B(x) — «x — чётное число и x кратно 3». То есть предикат «x делится на 6».

Дизъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат ${\displaystyle A\left(x\right)\vee B\left(x\right)}$ , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях x из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности Т предиката ${\displaystyle A\left(x\right)\vee B\left(x\right)}$  является объединение областей истинности предикатов A(x) — Т1 и B(x) — Т2, то есть Т = Т1 ⋃ Т2.

Отрицанием предиката A(x) называется новый предикат ¬A(x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях x из T, при которых предикат A(x) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если A(x) принимает значение «истина».

Множеством истинности предиката x X является дополнение T' к множеству T в множестве X.

Импликацией предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат ${\displaystyle A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)}$ , который является ложным при тех и только тех значениях x из T, при которых A(x) принимает значение «истина», а B(x) — значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если A(x), то B(x)».

Например. A(x): «Натуральное число x делится на 3». B(x): «Натуральное число x делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число x делится на 3, то оно делится и на 4». Множеством истинности предиката ${\displaystyle A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)}$  является объединение множества T2 — истинности предиката B(x) и дополнения к множеству T1 истинности предиката A(x).

Кванторные операции

• Квантор всеобщности ${\displaystyle \forall }$ 
• Квантор существования ${\displaystyle \exists }$ 
• Квантор существования по переменной ${\displaystyle x}$ ₁

• Исчисление предикатов
• Непредикативность
• Определяющий предикат
• Предикатив

• Гуц А. К. Математическая логика и теория алгоритмов. — Наследие, Диалог-Сибирь, 2003.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М.: Наука, Физматлит, 1987.
• Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — Academia, 2008.
• Клини С. К. Математическая логика. — М.: Мир, 1973.
• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1971.
• Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973.