Закон Бернулли

Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости (то есть без вязкости и теплопроводности).

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году.

Полное давление
Размерность	${\displaystyle L^{-1}MT^{-2}}$
Единицы измерения
СИ	Дж/м3 = Па
СГС	эрг/см3
Примечания
Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина ${\displaystyle \rho v^{2}/2+\rho gh+p}$  сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.}$ 

Здесь

${\displaystyle \rho }$  — плотность жидкости;
${\displaystyle v}$  — скорость потока;
${\displaystyle h}$  — высота;
${\displaystyle p}$  — давление;
${\displaystyle g}$  — ускорение свободного падения.

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии

 

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями ${\displaystyle A_{1}}$  и ${\displaystyle A_{2}}$ , действует сила ${\displaystyle F_{1}=p_{1}A_{1}}$ , а справа — противоположного направления сила ${\displaystyle F_{2}=-p_{2}A_{2}}$ . Скорость ${\displaystyle v}$  и давление ${\displaystyle p}$  в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время ${\displaystyle \Delta t}$  левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние ${\displaystyle s_{1}=v_{1}\Delta t}$ , а правая — на расстояние ${\displaystyle s_{2}=v_{2}\Delta t}$ . Работа, совершённая силами давления, равна:

${\displaystyle W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2}p_{2}\right).}$ 

В начале интервала времени ${\displaystyle \Delta t}$  объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями ${\displaystyle A_{1}}$  и ${\displaystyle A_{2}}$ , состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: ${\displaystyle \Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.}$  Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: ${\displaystyle \Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right),}$  равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента ${\displaystyle \Delta E_{2}}$  и левого голубого элемента ${\displaystyle \Delta E_{1}}$ .

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить ${\displaystyle \rho _{1}=\rho _{2}=\rho }$  и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: ${\displaystyle \Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),}$  ${\displaystyle \Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).}$  После этого равенство ${\displaystyle \Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}}$  даёт: ${\displaystyle p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}}$ , или ${\displaystyle p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}}$ .

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением. Могут также использоваться термины «весовое давление» ${\displaystyle \rho gh}$ , «статическое давление» ${\displaystyle p}$  и «динамическое давление» ${\displaystyle \rho v^{2}/2}$ . По словам Д. В. Сивухина, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

 

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

${\displaystyle \rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},}$ 

где

${\displaystyle h}$  — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,
${\displaystyle v}$  — скорость истечения жидкости,
${\displaystyle p_{0}}$  — атмосферное давление.

Отсюда: ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$ . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты ${\displaystyle h}$ . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде.

Другие проявления и применения закона Бернулли

 

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука.

Вдоль горизонтальной трубы координата ${\displaystyle z}$  постоянна и уравнение Бернулли принимает вид ${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}}$ . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насоса.

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»).

Применение в гидравлике

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» ${\displaystyle \rho g}$ :

${\displaystyle H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}},}$ 

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор
Размерность	${\displaystyle L}$
Единицы измерения
СИ	метр
Примечания
Полное давление, делённое на удельный вес.

${\displaystyle H}$  — гидравлическая высота или напор,
${\displaystyle h}$  — нивелирная высота,
${\displaystyle {\frac {p}{\rho g}}}$  — пьезометрическая высота или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор,
${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$  — скоростная высота или скоростной напор.

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора».

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: ${\displaystyle \rho =\rho (p)}$ , что позволяет ввести функцию давления ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}.}$  В этих предположениях величина

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}}$ 

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом ${\displaystyle gh}$  заменяется на потенциал массовой силы ${\displaystyle \varphi }$ .

Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости ${\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} \psi }$ , интеграл Бернулли в виде ${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const} }$  сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения.

Формула Сен-Венана — Ванцеля

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон

${\displaystyle p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0}}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right],}$ 

то уравнение Бернулли выражается так (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const} }$  вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь
${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}}$  — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,
${\displaystyle p,\ \rho }$  — давление и плотность газа,
${\displaystyle p_{0},\ \rho _{0}}$  — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за ${\displaystyle p_{0},\ \rho _{0},}$  тогда скорость истечения выражается через внешнее давление ${\displaystyle p}$  по формуле Сен-Венана — Ванцеля:

${\displaystyle v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].}$ 

Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}},\quad s={\text{const}},}$ 

где ${\displaystyle w}$  — энтальпия единицы массы, ${\displaystyle \varphi }$  — гравитационный потенциал (равный ${\displaystyle gz}$  для однородной силы тяжести), ${\displaystyle s}$  — энтропия единицы массы.

Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии (${\displaystyle s={\text{const}}}$ ). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости.

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света ${\displaystyle c}$ , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных удельной энтальпии и удельной энтропии.