Абсолютно Чёрное Тело

Таким образом, у абсолютно чёрного тела поглощательная способность (отношение поглощённой энергии к энергии падающего излучения) равна 1 для излучения всех частот, направлений распространения и поляризаций.

Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой.

Важность абсолютно чёрного тела в теории теплового излучения обусловлена тем, что вопрос о спектре равновесного теплового излучения тел любого цвета и коэффициента отражения сводится методами классической термодинамики к вопросу об излучении абсолютно чёрного тела. К концу XIX века проблема излучения абсолютно чёрного тела вышла на первый план.

Спектральная плотность мощности излучения чёрного тела (мощность, излучаемая с поверхности единичной площади в единичном интервале частот в герцах) задаётся формулой Планка

${\displaystyle R_{\nu }(\nu ,\,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}}$,

где ${\displaystyle T}$ — температура, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка, ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle \nu }$ — частота электромагнитного излучения.

Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на длину волны 450 нм, что соответствует температуре наружных слоёв Солнца около 6000 K (если рассматривать Солнце как абсолютно чёрное тело).

Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году.

 

Для физических экспериментов и обсуждений, касающихся проблематики абсолютно чёрного тела, используют модельный объект. Он представляет собой кусок непрозрачного материала, имеющий замкнутую полость с изотермическими стенками, к которой ведёт небольшое отверстие. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение. Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде чем выйдет (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений и излучений, то можно с уверенностью сказать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками. (На самом деле, наличие отверстия для этой модели вообще не важно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри; отверстие можно, например, совсем закрыть, и быстро приоткрыть только тогда, когда равновесие уже установилось и проводится измерение.)

Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости в абсолютно чёрном теле), называется чернотельным (или тепловым равновесным) излучением. Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с данным телом, эта температура может быть приписана излучению).

Близким к единице коэффициентом поглощения обладают сажа и платиновая чернь. Сажа поглощает до 99 % падающего излучения (то есть имеет альбедо, равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ею значительно хуже.

Наиболее чёрное из всех известных веществ — изобретённая в 2014 году субстанция Vantablack, состоящая из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок, — поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.

Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон — заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 K.

Чернотельным является излучение Хокинга (квантовомеханическое испарение чёрных дыр). Это излучение имеет температуру ${\displaystyle T_{\text{BH}}={\frac {hc^{3}}{16\pi ^{2}kGM}}}$ , где ${\displaystyle G}$  — гравитационная постоянная, а ${\displaystyle M}$  — масса чёрной дыры.

Под законами излучения подразумеваются зависимости испускательной способности поверхности тела от частоты (${\displaystyle R_{\nu }(\nu )}$ , Вт/м²/Гц) или длины волны (${\displaystyle R_{\lambda }(\lambda )}$ , Вт/м²/м) излучения, а также утверждения, касающиеся особенностей таких зависимостей. Вместо испускательной способности может рассматриваться связанная с ней формулой ${\displaystyle u=4R/c\,}$  (где ${\displaystyle c}$  — скорость света) объёмная спектральная плотность излучения (Дж/м³/Гц для ${\displaystyle u_{\nu }(\nu )}$  или Дж/м³/м для ${\displaystyle u_{\lambda }(\lambda )}$ ).

Изначально при поиске выражения для закона излучения чёрного тела были применены классические методы, которые дали ряд важных и верных результатов, но полностью решить проблему не позволили. В итоге анализ излучения абсолютно чёрного тела явился одной из предпосылок появления квантовой механики.

Классические законы

Закон Рэлея — Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела на основе классических принципов термодинамики приводит к закону Рэлея — Джинса (k — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$  — температура):

${\displaystyle u_{\nu }={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}}$ ,
${\displaystyle u_{\lambda }={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}}$ .

Формула соответствует эксперименту в длинноволновой области спектра.

Однако, эта формула предполагает неограниченное квадратичное возрастание спектральной плотности с частотой. На практике данный закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию коротковолнового излучения. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Первый закон излучения Вина

В 1893 году Вильгельм Вин, воспользовавшись, помимо классической термодинамики, электромагнитной теорией света, вывел следующую формулу:

${\displaystyle u_{\nu }=\nu ^{3}f\left({\frac {\nu }{T}}\right)}$ ,
${\displaystyle u_{\lambda }=\lambda ^{-5}f\left({\frac {c}{\lambda T}}\right)}$ ,

где f — функция, зависящая исключительно от отношения частоты к температуре. Установить её вид только из термодинамических соображений невозможно.

Первая формула Вина справедлива для всех частот.

Из неё выводится закон смещения Вина (закон максимума) в виде

${\displaystyle \lambda _{max}\sim {\frac {\rm {const}}{T}}}$ ,

где ${\displaystyle \lambda _{max}}$  отвечает максимуму функции ${\displaystyle u_{\lambda }(\lambda )}$ . Также можно получить закон Стефана — Больцмана:

${\displaystyle J={\frac {c}{4}}\int u_{\nu }\,d\nu \sim {\rm {const}}\cdot T^{4}}$ ,

где ${\displaystyle J}$  — мощность излучения единицы поверхности тела. Константы могут быть оценены из эксперимента. Для теоретического же их определения требуются методы квантовой механики.

Второй закон излучения Вина

В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:

${\displaystyle u_{\nu }=C_{1}\nu ^{3}e^{-C_{2}{\frac {\nu }{T}}}}$ ,
${\displaystyle u_{\lambda }=C_{1}\,c^{4}\lambda ^{-5}e^{-C_{2}{\frac {c}{\lambda T}}}}$ ,

где C₁, C₂ — константы. Опыт показывает, что вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Как и в случае закона максимума, константы не могут быть определены только из классических моделей.

Квантовомеханические законы

Закон Планка

По современным представлениям, интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты и температуры определяется законом Планка:

${\displaystyle u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},\qquad R_{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}}$ .

Здесь приведено выражение как для объёмной спектральной плотности энергии ${\displaystyle u_{\nu }}$ , так и для поверхностной спектральной плотности мощности излучения ${\displaystyle R_{\nu }}$ . Это эквивалентно

${\displaystyle u_{\lambda }={8\pi h{c} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1},\qquad R_{\lambda }={2\pi h{c^{2}} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}}$ ,

где те же величины представлены как зависимости от длины волны.

Исходя из формулы Планка можно получить формулу Рэлея — Джинса при ${\displaystyle h\nu /kT\ll 1}$ .

Также было показано, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов — и были найдены входящие в закон Вина постоянные C₁ и C₂. В результате формула второго закона Вина обретает вид

${\displaystyle u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\quad (h\nu /kT\gg 1)}$ .

Во всех вышеприведённых выражениях через h обозначена постоянная Планка.

Закон смещения Вина

 

Длина волны, при которой спектральная плотность мощности излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {0{,}002898}{T}},}$ 

где ${\displaystyle T}$  — температура в кельвинах, а ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}}$  — длина волны, отвечающей максимуму ${\displaystyle u_{\lambda }}$ , в метрах. Числовой множитель получается из формулы Планка.

Если считать, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 K) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области).

Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана — Больцмана гласит, что полная мощность излучения (Вт/м²) абсолютно чёрного тела, то есть интеграл спектральной плотности мощности по всем частотам, приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:

${\displaystyle J=\int R_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu =\sigma T^{4}}$ ,

где

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}\approx 5{,}670400(40)\cdot 10^{-8}}$  Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана — Больцмана.

Таким образом, абсолютно чёрное тело при ${\displaystyle T}$  = 100 K излучает 5,67 ватта с квадратного метра поверхности. При 1000 K мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатта с квадратного метра.

Для нечёрных тел приближённо ${\displaystyle J=\epsilon \sigma T^{4}}$ , где ${\displaystyle \epsilon }$  — степень черноты. Для абсолютно чёрного тела ${\displaystyle \epsilon =1}$ , для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения ${\displaystyle \epsilon =\alpha =1-\rho -\tau }$ , где ${\displaystyle \alpha }$  — коэффициент поглощения, ${\displaystyle \rho }$  — коэффициент отражения, а ${\displaystyle \tau }$  — коэффициент пропускания. Поэтому для уменьшения лучистого теплопереноса поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения — затемняют.

 

Цветность чернотельного излучения, или, вернее, цветовой тон излучения абсолютно чёрного тела при его определённой температуре, приведена в таблице:

Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (D₆₅). Реально воспринимаемый цвет может быть искажён адаптацией глаза к условиям освещения. Видимый цвет чёрных тел с разной температурой также представлен на диаграмме в начале статьи.

В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, состоящий из электронейтральных безмассовых частиц, заполняющий полость объёмом V в абсолютно чёрном теле (см. раздел «Практическая модель»), с давлением P и температурой T, совпадающей с температурой стенок полости. Для фотонного газа справедливы следующие термодинамические соотношения:

${\displaystyle P={\frac {a}{3}}T^{4},}$

(Термическое уравнение состояния)

${\displaystyle U=aVT^{4},}$

(Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

${\displaystyle U=aV\left({\frac {3S}{4aV}}\right)^{4/3},}$

(Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

${\displaystyle H=\left({\frac {3P}{a}}\right)^{1/4}S,}$

(Каноническое уравнение состояния для энтальпии)

${\displaystyle F=-{\frac {1}{3}}aVT^{4},}$

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца)

${\displaystyle G=0,}$

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гиббса)

${\displaystyle \Omega =-{\frac {1}{3}}\alpha VT^{4},}$

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау)

${\displaystyle \mu =0,}$

(Химический потенциал)

${\displaystyle S={\frac {4a}{3}}VT^{3},}$

(Энтропия)

${\displaystyle C_{V}=4aVT^{3},}$

(Теплоёмкость при постоянном объёме)

${\displaystyle C_{P}=\infty ,}$

(Теплоёмкость при постоянном давлении)

${\displaystyle \gamma =\infty ,}$

(Показатель адиабаты)

${\displaystyle S={\text{const}},\quad VT^{3}={\text{const}},\quad PV^{4/3}={\text{const}}.}$

(Уравнения адиабаты)

Для большей компактности в формулах использована радиационная постоянная a вместо постоянной Стефана — Больцмана σ:

${\displaystyle a={\frac {4\sigma }{c}},}$

(Радиационная постоянная)

где c — скорость света в вакууме.

Фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободы.

Давление фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс (T = const) является одновременно и изобарным процессом (P = const). С повышением температуры давление фотонного газа растёт очень быстро, достигая 1 атмосферы уже при T = 1,4⋅10⁵ K, а при температуре 10⁷ K (температура центра Солнца) давление достигает значения 2,5⋅10⁷ атм (2,5⋅10¹² Па). Величина теплоёмкости излучения становится сравнимой с величиной теплоёмкости одноатомного идеального газа лишь при температурах порядка миллионов кельвинов.

Представление о температуре излучения было введено Б. Б. Голицыным (1893).

• Точка Дрейпера
• Фундаментальные физические постоянные
• Тепловое излучение
• Закон смещения Вина
• Vantablack
• Серое тело