Funcție Kelvin

${\displaystyle J_{\nu }(xe^{3\pi i/4})\,\!}$

unde x este real, iar ${\displaystyle J_{\nu }(z)\,\!}$ este funcția Bessel de prima speță și de ordinul ν.

Similar, funcțiile Ker_ν(x) și Kei_ν(x) sunt respectiv partea reală si partea imaginară a funcției:

${\displaystyle K_{\nu }(xe^{3\pi i/4})\,\!}$

unde ${\displaystyle K_{\nu }(z)\,}$ este funcția Bessel modificată de speța a II-a și de ordinul ν.

Deși funcțiile Kelvin sunt definite ca parte reală si imaginară ale funcțiilor Bessel cu x real, ele pot fi prelungite analitic pentru argumente complexe x e^i φ, φ ∈ [0, 2π). Cu excepția funcțiilor Ber_n(x) și Bei_n(x) pentru n întreg, funcțiile Kelvin au un punct de ramificație în x = 0.

 

 

Pentru n întreg, Ber_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

${\displaystyle \mathrm {Ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}$ 

unde ${\displaystyle \Gamma (z)}$  este funcția Gamma.

Cazul special Ber${\displaystyle _{0}(x)}$ , în mod normal notat cu Ber${\displaystyle (x)}$ , are următoarea dezvoltare în serie:

${\displaystyle \mathrm {Ber} (x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{4k}}{[(2k)!]^{2}}}}$ 

iar dezvoltarea asimptotică este

${\displaystyle \mathrm {Ber} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\cos \alpha +g_{1}(x)\sin \alpha ]-{\frac {\mathrm {Kei} (x)}{\pi }}}$ ,

unde ${\displaystyle \alpha =x/{\sqrt {2}}-\pi /8}$ , iar

${\displaystyle f_{1}(x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$ 

${\displaystyle g_{1}(x)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$ 

 

 

pentru ${\displaystyle n}$  întreg, Bei${\displaystyle _{n}(x)}$  are următoarea dezvoltare în serie:

${\displaystyle \mathrm {Bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}$ 

unde ${\displaystyle \Gamma (z)}$  este funcția Gamma. Cazul special Bei${\displaystyle _{0}(x)}$ , în mod normal notat cu Bei${\displaystyle (x)}$ , are următoarea dezvoltare în serie:

${\displaystyle \mathrm {Bei} (x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^{2}}}}$ 

iar dezvoltarea asimptotică este:

${\displaystyle \mathrm {Bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\sin \alpha +g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {Ker} (x)}{\pi }}}$ ,

unde ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle f_{1}(x)}$  și ${\displaystyle g_{1}(x)}$  sunt definite ca cele pentru Ber${\displaystyle (x)}$ .

Pentru n întreg, Ker_n(x) are următoarea dezvoltare în serie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x)\end{aligned}}}$ 

 

 

unde ${\displaystyle \psi (z)}$  este funcția Digamma.

Cazul special Ker${\displaystyle _{0}(x)}$ , în mod normal notat cu Ker${\displaystyle (x)}$ , are următoarea dezvoltare în serie:

${\displaystyle \mathrm {Ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} (x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k}}$ 

și dezvoltarea asimptotică:

${\displaystyle \mathrm {Ker} (x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\cos \beta +g_{2}(x)\sin \beta ],}$ 

unde ${\displaystyle \beta =x/{\sqrt {2}}+\pi /8}$ , iar

${\displaystyle f_{2}(x)=1+\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}}$ 

${\displaystyle g_{2}(x)=\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}$ 

Pentru n întreg, Kei_n(x) are dezvoltarea in serie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Kei} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)\end{aligned}}}$ 

 

 

unde ${\displaystyle \psi (z)}$  este funcția Digamma.

Cazul special Kei${\displaystyle _{0}(x)}$ , în mod uzual notat cu Kei${\displaystyle (x)}$ , are următoarea dezvoltare în serie:

${\displaystyle \mathrm {Kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} (x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k+1}}$ 

și dezvoltarea asimptotică:

${\displaystyle \mathrm {Kei} (x)\sim -{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\sin \beta +g_{2}(x)\cos \beta ],}$ 

unde ${\displaystyle \beta }$ , ${\displaystyle f_{2}(x)}$  și ${\displaystyle g_{2}(x)}$  sunt cele definite pentru Ker${\displaystyle (x)}$ .

• Funcție Bessel

• Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Capitolul 9.9.

• Weisstein, Eric W. "Kelvin Functions." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. [1]
• GPL-licensed C/C++ source code for calculating Kelvin functions at codecogs.com: [2] Arhivat în 7 aprilie 2007, la Wayback Machine.