Filho de Elise Sophie Kayser e de Caspar Klein, oficial do governo, estudou em Düsseldorf até 1865, ano em que foi para a Universidade de Bonn para estudar matemática e física. Nesta universidade tornou-se assistente de Julius Plücker, tendo obtido um doutorado em 1868, sob a supervisão de Plücker e Rudolf Lipschitz, com a tese sobre geometria, Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Koordinaten auf eine kanonische Form. Em 1870 em Paris conheceu Sophus Lie, com quem estudou a então recente teoria dos grupos. Pouco depois regressa à actual Alemanha, devido à Guerra franco-prussiana, tornando-se professor em Göttingen em 1871. No ano seguinte Klein obteve um lugar em Erlangen, em 1872, onde na sua aula inaugural estabeleceu o chamado Programa de Erlangen. Três anos mais tarde casou com Anne Hegel, neta do filósofo Georg Hegel e mudou-se para Munique. Em 1880 aceitou um lugar em Leipzig. A partir de 1886 estabeleceu-se definitivamente em Göttingen, onde tinha começado a carreira, dedicando-se a tornar esta universidade no centro mundial da investigação matemática. Em 1893 recebeu a Medalha De Morgan da Sociedade Matemática de Londres e em 1912 a medalha Copley da Royal Society. Em 1895 admitiu David Hilbert na sua equipe, que continuou o seu trabalho após a sua reforma em 1913, motivada por sua fraca saúde. Em 1908 criou a Comissão Internacional de Instrução Matemática, e trabalhou, de 1908 até os anos 1920, em uma pesquisa cujo objeto era a evolução da educação matemática em diversos países do mundo. Foi editor do periódico matemático Mathematische Annalen, tendo conseguido torná-lo a principal publicação da época.
Embora Klein tenha trabalhado em vários assuntos, como teoria das funções e física matemática, o seu principal contributo foi na geometria. Em 1871 descobriu que a geometria euclidiana e a não euclidiana podiam ser vistas como casos particulares de uma superfície projectiva, o que tornava equivalente a consistência das duas geometrias. No ano seguinte Klein apresenta o seu Erlanger programm, que viria a determinar o desenvolvimento da matemática no século XX. Neste programa, Klein apresenta a geometria como o estudo das propriedades de um espaço invariante pela acção de um grupo. A geometria euclidiana não era mais do que o estudo do grupo das transformações euclidianas, a geometria hiperbólica não era mais do que o estudo do grupo das transformações hiperbólicas, desmitificando assim as novas geometrias. Ainda no campo da geometria, Klein estudou a hoje chamada garrafa de Klein, uma superfície fechada não orientável.
Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade (1884); Traduzido para o inglês por G. G. Morrice, Lectures on the Icosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree, (2nd revised edition, Nova York, 1914)
Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323-356, Math. Annalen, Bd. 27, (1886)
Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357-387, Math. Annalen, Bd. 32, (1888)
Mathematical Theory of the Top (Princeton address, Nova York, 1897)
Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie (1895; English translation by W. W. Beman and D. E. Smith, Famous Problems of Elementary Geometry, Boston, 1897)
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