최대공약수

수론에서, 정수들의 공약수(公約數, 영어: common factor)는 동시에 그들 모두의 약수인 정수다. 적어도 하나가 0이 아닌 정수들의 최대공약수(最大公約數, 문화어: 련속나눔셈; 영어: greatest common factor, 약자 GCF)는 공약수 가운데 가장 큰 하나다. 다항식이나 환의 원소에 대해서도 정의할 수 있다.

두 정수 ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$ 의 공약수는 ${\displaystyle n}$ 의 약수이자 ${\displaystyle m}$ 의 약수인 정수이다. 모두 0이 아닌 두 정수 ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$ 의 최대공약수는 다음과 같은 여러 정의가 있으며, 이들은 서로 동치이다.

• ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle m}$ 의 가장 큰 공약수
• ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle m}$ 의 공약수이자, ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle m}$ 의 모든 공약수의 배수인 양의 정수
• ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle m}$ 의 정수 계수 선형 결합인 최소 양의 정수

모두 0이지는 않은 두 정수의 최대공약수는 항상 존재하며, 항상 유일하다. 기호는 ${\displaystyle \gcd\{n,m\}}$  또는 ${\displaystyle (n,m)}$ .

비슷하게, 여러 정수 ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} }$ 의 공약수는 공통 약수이며, 모두 0이지는 않은 여러 정수 ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} }$ 의 최대공약수 ${\displaystyle \gcd\{n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}\}}$ 는 다음과 같은 서로 동치인 정의가 있다. 이는 항상 유일하게 존재한다.

• 가장 큰 공약수
• 공약수이자, 모든 공약수의 배수인 양의 정수
• 정수 계수 선형 결합인 최소 양의 정수
• (재귀적 정의) ${\displaystyle \gcd\{\gcd\{\gcd\{\cdots \gcd\{\gcd\{n_{1},n_{2}\},n_{3}\}\cdots \},n_{k-1}\}n_{k}\}}$ 

최대공약수가 1인 정수들을 서로소라고 한다.

최대공약수는 다음과 같은 성질들을 가진다. (여기서 최대공약수를 취하는 정수들은 적어도 하나가 0이 아니라고 가정한다.)

약수 관계는 최대공약수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle n\mid m\iff \gcd\{n,m\}=n}$ 

공약수는 최대공약수의 약수와 동치이다.

${\displaystyle k\mid n,m\iff k\mid \gcd\{n,m\}}$ 
${\displaystyle k\mid n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}\iff k\mid \gcd\{n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}\}}$ 

최대공약수는 정수 계수 선형 결합으로 나타낼 수 있는 최소 양의 정수이다.

${\displaystyle \gcd\{n,m\}=\min\{an+bm>0\colon a,b\in \mathbb {Z} \}}$ 
${\displaystyle \gcd\{n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}\}=\min\{a_{1}n_{1}+a_{2}n_{2}+\cdots +a_{t}n_{t}>0\colon a_{1},a_{2},\dots ,a_{t}\in \mathbb {Z} \}}$ 

최대공약수는 음이 아닌 정수 ${\displaystyle k}$ 에 대하여 다음과 같다.

${\displaystyle \gcd\{nk,mk\}=\gcd\{n,m\}k}$ 
${\displaystyle \gcd\{n_{1}k,n_{2}k,\dots ,n_{t}k\}=\gcd\{n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}\}k}$ 
${\displaystyle \gcd \left\{{\frac {n}{k}},{\frac {m}{k}}\right\}={\frac {\gcd\{n,m\}}{k}}\qquad (k\mid n,m)}$ 
${\displaystyle \gcd \left\{{\frac {n_{1}}{k}},{\frac {n_{2}}{k}},\dots ,{\frac {n_{t}}{k}}\right\}={\frac {\gcd\{n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}\}}{k}}\qquad (k\mid n_{1},n_{2},\dots ,n_{t})}$ 

특히, 정수들을 최대공약수로 나눈 몫들은 서로소다.

${\displaystyle \gcd \left\{{\frac {n}{\gcd\{n,m\}}},{\frac {m}{\gcd\{n,m\}}}\right\}=1}$ 
${\displaystyle \gcd \left\{{\frac {n_{1}}{\gcd\{n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}\}}},{\frac {n_{2}}{\gcd\{n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}\}}},\dots ,{\frac {n_{t}}{\gcd\{n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}\}}}\right\}=1}$ 

정수들 가운데 하나에서 다른 하나와 서로소인 약수를 지워도 최대공약수가 변하지 않는다.

${\displaystyle \gcd\{m,k\}=1\implies \gcd\{nm,k\}=\gcd\{n,k\}}$ 
${\displaystyle \gcd\{m,k\}=1\implies \gcd\{n_{1},\dots ,n_{j}m,\dots ,n_{t},k\}=\gcd\{n_{1},\dots ,n_{t},k\}}$ 

소인수분해가 주어진 정수들의 최대공약수는 공통된 소인수의 최소 지수 거듭제곱의 곱이다. 두 정수의 경우 소인수분해가 다음과 같다고 하자.

${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{t}^{e_{t}}}$ 
${\displaystyle m=p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots p_{t}^{f_{t}}}$ 
${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{t},f_{1},f_{2},\dots ,f_{t}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ 

그렇다면, 최대공약수는 다음과 같다.

${\displaystyle \gcd\{n,m\}=p_{1}^{\min\{e_{1},f_{1}\}}p_{2}^{\min\{e_{2},f_{2}\}}\cdots p_{t}^{\min\{e_{t},f_{t}\}}}$ 

두 정수의 최대공약수와 최소공배수의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \gcd\{n,m\}\operatorname {lcm} \{n,m\}=nm}$ 

최대공약수는 각 정수의 약수를 구하고, 공통되는 약수를 구하고, 가장 큰 하나를 구하면 얻을 수 있다. 예를 들어 12와 18의 경우, 12의 모든 약수는 (±) 1, 2, 3, 4, 6, 12이며, 18의 모든 약수는 (±) 1, 2, 3, 6, 9, 18이므로, 공약수는 (±) 1, 2, 3, 6이다. 가장 큰 6이 바로 최대공약수이다. 최대공약수를 구하는 방법은 그 밖에 소인수분해를 통한 방법과 유클리드 호제법을 통한 방법이 있다.

소인수분해

두 수 192와 72의 최대공약수를 소인수 분해를 이용하여 구하여 보자. 일단 두 수를 소인수 분해한다.

${\displaystyle 192=2^{6}\times 3=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3}$ 
${\displaystyle 72=2^{3}\times 3^{2}=2\times 2\times 2\times 3\times 3}$ 

구하고 나면, 두 소인수 분해 결과의 중복되는 부분을 찾아 서로 곱한다. 두 결과에서 2가 세 번 중복되어 나오고 3이 한번 중복되어 나왔다. 즉 ${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 3=24}$  최대공약수가 24라는 결론이 나온다.

그러나 일반적으로 소인수 분해를 효율적으로 빠른 시간 내에 하는 방법은 알려져 있지 않다. 더 빠른 시간 안에 구하는 방법에는 호제법이 있다.

유클리드 호제법

똑같이 두 수 192와 72의 최대공약수를 이번에는 호제법으로 구하여 보자. 일단 192을 72로 나누어 나머지를 구한다.

${\displaystyle 192=72\times 2+48}$ 

이는 192을 72로 나누어 나온 나머지가 48라는 것을 의미한다. 이번에는 72을 나머지인 48로 나눈다.

${\displaystyle 72=48\times 1+24}$ 

이와 같은 연산을 나머지가 0이 될 때까지 반복한다.

${\displaystyle 48=24\times 2+0}$ 

나머지가 0이 되었으므로 연산을 중지한다. 이때, 나머지가 0이 되기 바로 직전의 연산에서의 나머지가 원래 두 수의 최대공약수가 된다.

이를 수식화 한 것은 호제법 문서를 참조하라.

임의의 환 위에서 최대공약수를 정의할 수 있다. 가환 환에서 두 원소 ${\displaystyle a}$ 와 ${\displaystyle b}$ 에 대하여 ${\displaystyle d}$ 가 최대공약수라 함은 ${\displaystyle d}$ 가 두 원소의 약수이며 동시에 임의의 공약수는 ${\displaystyle d}$ 의 약수가 됨을 말한다. 그러나 이렇게 정의할 경우 최대공약수는 유일하지 않을 수도 있고 두 원소가 영이아니라 하더라도 존재하지 않을 수도 있다. 정역에서는 일단 존재한다면 최대공약수들은 서로 동반된(associated)다. 또한 유일 인수분해정역에서는 영이 아닌 두 원소의 경우 항상 최대공약수가 존재한다.

• 최소공배수

• 서보억 (2011년 10월 10일). “최대공약수”. 《네이버캐스트》. 2013년 8월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 5월 10일에 확인함.