სიმრავლეთა თეორიაში კანტორის თეორემა — ნებისმიერი სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე უფრო მაღალი კარდინალობისაა ვიდრე თვითონ ეს სიმრავლე.
ანუ შეუძებელია არსებობდეს ფუნქცია სიმრავლიდან მის ქვესიმრავლეთა სიმრავლეში, რომლისთვისაც მნიშვნელობათა არე მთელი ქვესიმრავლეთა სიმრავლეა.
გეორგ კანტორმა ეს თეორემა, თავისი დამტკიცებით (რომელიც აქვეა მოყვანილი) გამოაქვეყნა 1891 წელს. მიუხედავად იმისა, რომ მანამდე არსებობდა ნამდვილი რიცხვების სიმრავლის არათვლადობის სხვა დამტკიცებები, ეს დამტკიცება მათზე უფრო მარტივი აღმოჩნდა და დღემდე ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის არათვლადობა ამ დამტკიცების გამოყენებით ისწავლება.
ამ თეორემის დამტიკების ყველაზე გავრცელებული მეთოდი ცნობილია როგორც კანტორის დიაგონალური არგუმენტი. რადგან, როდესაც ამ მეთოდით ვამტკიცებთ რომ ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე არათვლადია, იმ ფუნქციას, რომელიც არარსებობას ვამტკიცებთ კვადრანტში ვწერთ და მის დიაგონალზე განლაგებულ რიცხვებს განვიხილავთ.
უშუალოდ დამტკიცება კი ასეთია:
დავუშვათ A არის განსახილველი სიმრავლე P(A) კი მის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე. დავუშვათ თეორემის საწინააღმდეგო - რომ არსებობს ფუნქცია f A-დან P(A)-ში, რომელიც P(A)-ს თითოეულ ელემენტს ფარავს.
განვიხილოთ A-ს შემდეგი ქვესიმრავლე.
მაშინ სიმრავლე B არის f-ის მნიშვნელობათა არეში დაშვების თანახმად. ანუ B=f(x) (სადაც x A-ს რომელიმე ელემენტია). გვაქვს ორი შესაძო შემთხვევა:
ანუ ორივე შემთხვევას წინააღმდეგობაში შევყავართ. შესაბამისად ჩვენი საწყისი დაშვება f ფუნქციის არსებობის შესახებ არასწორი იყო. რითიც თეორემა დამტკიცებულია.
This article uses material from the Wikipedia ქართული article კანტორის თეორემა, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). შინაარსი წარმოდგენილია შემდეგი ლიცენზიით (თუ სხვა არ არის მითითებული): CC BY-SA 4.0. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki ქართული (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.