Successione Di Lucas

In matematica, la successione di Lucas, indicata con ${\displaystyle L_{n}}$ è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono, per definizione, ${\displaystyle L_{0}=2}$ e ${\displaystyle L_{1}=1}$. Questa successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la regola:

${\displaystyle L_{0}=2,}$
${\displaystyle L_{1}=1,}$
${\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}}$ (per ogni n>1)

Gli elementi ${\displaystyle L_{n}}$ sono anche detti numeri di Lucas.

Pertanto i primi quindici termini della successione di Lucas sono: ${\displaystyle \{2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521,843\dots \}.}$

La successione di Lucas ha la stessa relazione ricorsiva della successione di Fibonacci, dove ogni termine è la somma dei due termini precedenti, ma con valori iniziali diversi. Questo produce una successione in cui i rapporti dei termini successivi si avvicinano al rapporto aureo, e in effetti i termini stessi sono un arrotondamento di potenze intere del rapporto aureo. La successione ha anche una varietà di relazioni con i numeri di Fibonacci, come il fatto che la somma di due numeri a due posizioni di distanza nella successione di Fibonacci dia per risultato il numero di Lucas in mezzo.

Il rapporto ${\displaystyle {\frac {L_{n}}{L_{n-1}}}}$ , per ${\displaystyle n}$  tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale ${\displaystyle \phi }$  chiamato sezione aurea o numero di Fidia. In termini matematici:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{L_{n} \over L_{n-1}}=\,\phi }$ 

dove

${\displaystyle \,\phi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}=1{,}6180339887\dots }$ 

Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Lucas siano o meno infiniti, ma si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Lucas.

• (EN) Thomas Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001. ISBN 0-471-39969-8

• Successione di Fibonacci
• Sezione aurea

• (EN) Eric W. Weisstein, Successione di Lucas, su MathWorld, Wolfram Research.  

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