In matematica, un privo di quadrati o intero libero da quadrati è un numero che non è divisibile per nessun quadrato perfetto tranne 1.
Ad esempio, 10 è privo di quadrati, mentre 18 no, in quanto è divisibile per 9 = 32. I più piccoli interi privi di quadrati sono:
Un intero n è privo di quadrati se e solo se nella sua fattorizzazione prima nessun numero primo appare più di una volta. Un'altra definizione equivalente è che per ogni divisore primo p di n, il primo p non divide n / p. Un'altra formulazione ancora: n è privo di quadrati se e solo se in ogni scrittura nella forma n=ab, i fattori a e b sono coprimi.
L'intero positivo n è privo di quadrati se e solo se μ(n) ≠ 0, dove μ indica la funzione di Möbius.
L'intero positivo n è privo di quadrati se e solo se tutti i gruppi abeliani di ordine n sono isomorfi, cosa che avviene se e solo se sono tutti ciclici. Questo deriva dalla classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.
Un intero n è privo di quadrati se e solo se il gruppo fattore Z / n Z (vedi aritmetica modulare) è un prodotto di campi. Ciò deriva dal teorema cinese del resto e dal fatto che un anello nella forma Z / k Z sia un campo se e solo se k è primo.
Per ogni intero positivo n, l'insieme di tutti i divisori positivi di n diventa un insieme parzialmente ordinato se usiamo la divisibilità come relazione d'ordine. Questo insieme parzialmente ordinato è sempre un reticolo distributivo. Si tratta di un'algebra di Boole se e solo se n è privo di quadrati.
Dato un intero positivo n, si definisce il radicale dell'intero n come:
uguale al prodotto dei numeri primi p che dividono n. I numeri n privi di quadrati sono quindi le soluzioni di n = rad(n).
Se Q(x) indica il numero di interi privi di quadrati fra 1 ed x, allora:
(vedi pi greco e notazione O grande). La densità naturale asintotica dei numeri privi di quadrati è perciò:
dove ζ è la funzione zeta di Riemann.
Similmente, se Q(x,n) indica il numero di interi privi di n-esime potenze fra 1 ed x, si può mostrare che:
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