Codice Gray: Codice binario a lunghezza fissa

Fu progettato e brevettato nel 1953 dal ricercatore Frank Gray dei laboratori Bell.

Si possono usare codici di Gray di tutte le lunghezze: il codice di lunghezza s è costituito da tutte le ${\displaystyle 2^{s}}$ sequenze di s bit e consente di rappresentare tutti gli interi da 0 a ${\displaystyle 2^{s}-1}$.

Esso differisce dalla notazione posizionale binaria degli interi in quanto prevede che si passi da un intero al successivo modificando un solo bit; questa caratteristica (detta a cambio 1) semplifica e rende meno soggette ad errori le operazioni di dispositivi elettronici che devono scorrere informazioni organizzate in sequenze. Evidentemente la codifica di Gray risulta poco sensata per interi da sottoporre ad operazioni come somme o prodotti.

Diversi dispositivi elettronici di acquisizione di posizione, tra cui gli encoder (lineari o rotativi, come - per esempio - i regolatori di volume digitali negli impianti Hi-Fi), codificano il valore digitale della posizione chiudendo o aprendo una serie di contatti elettrici o barriere ottiche. Questi dispositivi devono produrre, in base alla misura della posizione rilevata, un particolare numero in base 2. Ad esempio, ruotando la manopola di un encoder a 3 bit, si potrebbe ottenere in output il valore '001'. Grazie alla corretta interpretazione di questo numero, si può conoscere la misura della posizione del dispositivo.

Molti dispositivi elettronici indicano la propria posizione chiudendo e aprendo degli interruttori. Se queste posizioni venissero rappresentate come quelle di una codifica binaria ordinata in modo naturale, le posizioni 3 e 4 sarebbero consecutive, ma avrebbero tutti i bit di valore diverso:

Questa situazione è difficile da rappresentare con degli interruttori fisici reali: è molto improbabile che tutti gli interruttori cambino il proprio stato (aperto/chiuso) esattamente nello stesso istante. Durante il passaggio tra i due stati mostrati nella precedente tabella, tutti e tre gli interruttori dovranno cambiare stato, probabilmente producendo dei valori che oscillano per il breve periodo del cambiamento.

Anche se idealmente, si fosse in assenza di queste oscillazioni degli interruttori, il cambiamento di stato potrebbe comunque apparire come una sequenza di stati intermedi tra 001 e 100:

011, 001, 101, 100

Questa inusuale sequenza è dovuta al fatto che la commutazione degli interruttori non avviene contemporaneamente, ma solo un interruttore alla volta. In casi come questi, un osservatore esterno non può sapere se la posizione 001 (o qualsiasi altra posizione misurata) è una "vera" posizione, oppure uno stato intermedio tra due posizioni, quindi il sistema potrebbe memorizzare un valore intermedio "falso".

Questo problema, relativo all'ambiguità della posizione, è causato dal fatto di aver utilizzato una numerazione binaria ordinata in modo naturale, e può essere risolta usando un altro tipo di numerazione, che utilizza una codifica in cui si commuta un solo interruttore alla volta (un solo bit alla volta).

Va notato che anche nel passaggio dall'ultima alla prima parola del codice cambia solamente un bit.

Il codice Gray è un codice "riflesso".

 

Un codice Gray ad n-bit si costruisce attraverso un algoritmo ricorsivo. Si parte dal primo bit, quello meno significativo, si mette uno 0 sopra ed un 1 sotto.

Al passo successivo, si mette una riga al di sotto dell'1, come se fosse uno specchio, e si ricopiano le cifre invertendo l'ordine, con la riga che funge da specchio, appunto. Si termina inserendo uno 0 davanti alla sequenza costruita se questa è sopra la riga, altrimenti si aggiunge un 1. Ora siamo arrivati ad un codice con 2 bit.

Iterando i passi precedenti, si mette la riga, si specchia la sequenza e si aggiunge il bit più significativo, si costruiscono codici ad n-bit.

Da binario a Gray

Per convertire un numero in base due in codice di Gray viene eseguito un semplice procedimento:

Il primo bit (MSB) in codifica binaria rimane uguale e viene, quindi, riportato; si esegue poi lo XOR tra il numero in codifica binaria e lo stesso numero spostato di una cifra verso destra, come nel seguente esempio:

bin:  110010  XOR        110010 Gray: 101011 

La prima cifra del codice Gray (Most Significant Bit) è la stessa della codifica binaria, le altre sono il risultato dello XOR tra ogni cifra in codifica binaria e la cifra successiva.

Da Gray a binario

Il procedimento di conversione da codice di Gray a codifica binaria normale è molto simile a quello appena descritto ma con qualche piccola differenza.

Il primo bit (MSB) rimane uguale e viene quindi riportato, poi si esegue lo XOR tra ciascun bit ottenuto (quello del codice binario) e il bit successivo (da sinistra verso destra) del codice gray, come in questo esempio:

Gray: 101011 XOR        11001 bin:  110010 

_xor = {("0", "0"): "0",         ("0", "1"): "1",         ("1", "0"): "1",         ("1", "1"): "0"}  def tograystr(binary):     result = prec = binary[0]     for el in binary[1:]:         result += _xor[el, prec]         prec = el     return result  def tobinarystr(gray):     result = prec = gray[0]     for el in gray[1:]:         prec = _xor[prec, el]         result += prec     return result 

Esempio d'uso dalla shell Python:

>>> bins = ['000', '001', '010', '011', '100', '101', '110', '111'] >>> grays = [tograystr(b) for b in bins] >>> grays ['000', '001', '011', '010', '110', '111', '101', '100'] >>> [tobinarystr(g) for g in grays] ['000', '001', '010', '011', '100', '101', '110', '111'] 

• (EN) Martin Gardner, The Binary Gray Code, in Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments, 1986, pp. 11-27, ISBN 0-7167-1799-9.

• Charset
• One-hot

•   Wiki Commons contiene immagini o altri file su Codice Gray

• (EN) Gray code, in Free On-line Dictionary of Computing, Denis Howe. Disponibile con licenza GFDL
• (EN) Paul E. Black, Gray code, in Dictionary of Algorithms and Data Structures, NIST, 22 gennaio 2007. URL consultato il 6 giugno 2007.

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