Az F-eloszlást a teszt-statisztika területén használják, leggyakrabban a szórásnégyzet analízisnél (lásd még: F-teszt )
Az F-eloszlás nem összekeverendő az F-statisztikával, melyet a népesség genetikában használnak. Az F-eloszlás úgy is ismert, mint Snedecor-féle F-eloszlás vagy Fisher–Snedecor-eloszlás Ronald Fisher és George W. Snedecor után.
Definíció
Sűrűségfüggvény Kumulatív eloszlásfüggvény Ha X {\displaystyle X} valószínűségi változó F-eloszlású d 1 {\displaystyle d_{1}} és d 2 {\displaystyle d_{2}} paraméterekkel, akkor írhatjuk X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})} . X {\displaystyle X} valószínűség sűrűségfüggvénye :
f ( x ; d 1 , d 2 ) = ( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) = 1 B ( d 1 2 , d 2 2 ) ( d 1 d 2 ) d 1 2 x d 1 2 − 1 ( 1 + d 1 d 2 x ) − d 1 + d 2 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\!\end{aligned}}} valós x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} esetekre. Itt a B {\displaystyle \mathrm {B} } , a béta-függvény . A legtöbb alkalmazásban a d 1 {\displaystyle d_{1}} és d 2 {\displaystyle d_{2}} pozitív egész. A kumulatív eloszlásfüggvény:
F ( x ; d 1 , d 2 ) = I d 1 x d 1 x + d 2 ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) , {\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2),} ahol I a szabályozott inkomplett béta-függvény. A lapultság:
γ 2 = 12 d 1 ( 5 d 2 − 22 ) ( d 1 + d 2 − 2 ) + ( d 2 − 4 ) ( d 2 − 2 ) 2 d 1 ( d 2 − 6 ) ( d 2 − 8 ) ( d 1 + d 2 − 2 ) {\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}} . Egy F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle \operatorname {F} (d_{1},d_{2})} k -ik momentuma létezik, és csak akkor véges, ha 2 k < d 2 {\displaystyle 2k , és egyenlő:: μ X ( k ) = ( d 2 d 1 ) k Γ ( d 1 / 2 + k ) Γ ( d 1 / 2 ) Γ ( d 2 / 2 − k ) Γ ( d 2 / 2 ) {\displaystyle \mu _{X}\left(k\right)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left(d_{1}/2+k\right)}{\Gamma \left(d_{1}/2\right)}}{\frac {\Gamma \left(d_{2}/2-k\right)}{\Gamma \left(d_{2}/2\right)}}}
Az F-eloszlás az Elsődleges béta-eloszlás partikuláris parametrizálása, melyet másodfajú béta-eloszlásnak is hívnak.
Karakterisztikus függvény A karakterisztikus függvény:
φ d 1 , d 2 F ( s ) = Γ ( ( d 1 + d 2 ) / 2 ) Γ ( d 2 / 2 ) U ( d 1 / 2 , 1 − d 2 / 2 , − d 2 / d 1 ı s ) {\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma ((d_{1}+d_{2})/2)}{\Gamma (d_{2}/2)}}U(d_{1}/2,1-d_{2}/2,-d_{2}/d_{1}\imath s)} ahol U ( a , b , z ) {\displaystyle U(a,b,z)} a másodfajú hipergeometrikus-függvény.
Jellemzők
Egy d 1 és d 2 paraméterekkel rendelkező F -eloszlású valószínűségi változó, két megfelelően skálázott khí-négyzet eloszlásból származtatható:
U 1 / d 1 U 2 / d 2 {\displaystyle {\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}} ahol
Olyan esetekben, amikor az F -eloszlást használják, például, a szórásnégyzet analízisénél, U 1 és U 2 függetlensége demonstrálható, ha alkalmazzuk a Cochran-tételt .
Általánosítás
Az F -eloszlás általánosítása, a nemcentrális F -eloszlás.
Kapcsolódó eloszlások
Ha X ∼ χ ν 1 2 {\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}} és Y ∼ χ ν 2 2 {\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}} , függetlenek, akkor X / ν 1 Y / ν 2 ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle {\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})} Ha X ∼ Beta ( ν 1 / 2 , ν 2 / 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\nu _{1}/2,\nu _{2}/2)} (Béta-eloszlás ), akkor ν 2 X ν 1 ( 1 − X ) ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle {\frac {\nu _{2}X}{\nu _{1}\left(1-X\right)}}\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})} Hasonlóan, ha X ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})} , akkor ν 1 X / ν 2 1 + ν 1 X / ν 2 ∼ Beta ( ν 1 / 2 , ν 2 / 2 ) {\displaystyle {\frac {\nu _{1}X/\nu _{2}}{1+\nu _{1}X/\nu _{2}}}\sim \operatorname {Beta} (\nu _{1}/2,\nu _{2}/2)} . Ha X ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})} akkor Y = lim ν 2 → ∞ ν 1 X {\displaystyle Y=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}X} khí-négyzet eloszlás χ ν 1 2 {\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}} F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})} ekvivalens a skálázott Hotelling T-négyzet eloszlással ν 2 ν 1 ( ν 1 + ν 2 − 1 ) T 2 ( ν 1 , ν 1 + ν 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}(\nu _{1}+\nu _{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(\nu _{1},\nu _{1}+\nu _{2}-1)} . Ha X ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) , {\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2}),} , akkor 1 X ∼ F ( ν 2 , ν 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{X}}\sim F(\nu _{2},\nu _{1})} . Ha X ∼ t ( m ) {\displaystyle X\sim \mathrm {t} (m)\,} (Student t-eloszlás), akkor X 2 ∼ F ( ν 1 = 1 , ν 2 = m ) {\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=m)} . Ha X ∼ t ( n ) {\displaystyle X\sim \mathrm {t} (n)\,} (Student t-eloszlás), akkor X − 2 ∼ F ( ν 1 = n , ν 2 = 1 ) {\displaystyle X^{-2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=n,\nu _{2}=1)} . F-eloszlás a 6. típusú Pearson-eloszlás speciális esete. Ha X ∼ F ( n , m ) {\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)} , akkor log X 2 ∼ FisherZ ( n , m ) {\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)} (Fisher z-eloszlás) A nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} A dupla nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha λ 1 = λ 2 = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0} Ha p {\displaystyle p} kvantilise Q X ( p ) {\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)} X ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})} esetében, és 1 − p {\displaystyle 1-p} kvantilise Q Y ( 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)} , akkor Q X ( p ) = 1 / Q Y ( 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)} . Irodalom
Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). (hely nélkül): Wiley. 1995. ISBN 0-471-58494-0 Phillips, P. C. B: The true characteristic function of the F distribution. (hely nélkül): Biometrika. 1982. 261–264. o. Jegyzetek
Források Kapcsolódó szócikkek
This article uses material from the Wikipedia Magyar article F-eloszlás , which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0") ; additional terms may apply (view authors ). A lap szövege CC BY-SA 4.0 alatt érhető el, ha nincs külön jelölve. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Magyar (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.