Matematik Entegrasyon

Entegral yo itilize nan anpil disiplin syantifik yo, notaman nan fisik pou operasyon de mezi grandè yo (longè yon koub, lè, volim, flix), ou nan pwobabilite yo. Itilizasyon miltidisiplinè fè li yon zouti syanntifik fondamental. Se poutèt sa entegrasyon abòde depi nan klas segondè.

Konsèp entegral la te rafine depi nan entwodiksyon li nan XVIIe syèk avèk Leibniz ak Newton,sa pèmèt tou yo kalkile pou fonksyon ki ki piti ak mwens regilye.Yo rankontre tou jodi a entegral Riemann, Lebesgue, ou de Kurzell-Henstock. Men tout definisyon sa yo sanble nan ka yon fonksyon ki kontinye sou yon segman.

Senbòl pou represante entegrasyon an se yon "S long": ${\displaystyle \textstyle \int }$, li rele siy sòm, siy entegrasyon, siy entegral, oswa entegratè. Li te entwodwi pa Liebniz pou note entegral la.

Kalkile zòn

 

Nan yon plan ki gen yon repè katezyèn,yo chwazi kòm initezòn, zòn nan kadrilatè OIKJ kote O se orijin repè a epi I, J ak K se pwen yo nan kowòdone respektif (1; 0), (0; 1) ak (1; 1). ).

Si f se yon fonksyon reyèl pozitif kontinye e nou pran valè yo nan yon segman I = [a, b], epi entegral f la sou I ki note

${\displaystyle \int _{x\in I}f(x)dx,}$ 

Se zòn sipèfisyèl ki delimite pa representasyon grafik f la epi pa twa dwat ekwasyon x = a, x = b, y = 0, epi fonksyon an li menm. Nan yon lòt sans, se zon ki nou twouve ant fonksyon an e aks-x.

Lyen avek primitif yo

Objektif de kalkil entegral se develope metòd yo ki pemi kalkile entegral yo. Metod pi gwo pou kalkile entegral pase pa lide de primitif de yon fonksyon."Primitivasyon" an se operasyon an ki, soti nan yon fonksyon f, ba yon fonksyon F derivab e ki gen derive a egal a f: F′(x) = f(x).

Nou montre ki tout fonksyon kontinye sou yon segman [a, b] admèt primitif yo, e ki entegral la de a a b se egal a F(b) – F(a), andepandaman de primitif la chwazi. (gade figi 1.1 anba)

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_{a}^{b}}$ 

Anplis, gwoup primitif yo de yon fonksyon f kontinye sou yon entrval I se ba pa gwoup la de entegral andefine yo li

(figi 1.2)

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt+K,}$ 

le a se yon pwan de I e K se nenpòt reyel nimewo.

Teyorem fondamental de analiz se montre nan fig 1.1. Lide a andedan se demonstrasyon de relasyon ant entegral yo e derivatif yo. Yo se operasyon envès. Yon operasyon fè opoze lòt la.

Istwa matematik dwe anpil a teyori entegrasyon e plas li predominan. Nou ka wè vale de "metòd entegral yo" nan Grès antik e "metòd echapman" li. Li te pa kapab pann sou kalkil enfinitezimal, sepandan pou yon premye fòmalisasyon, yo te kapab kreye resilta yo pwofond e presi. Atenyen tap itilize li pou evaliye laje espas yo. Nan sa yo te montre egzistans lan de konset Riemann apwoksimasyon.

Nou pa toujou konnen fomile pou dekri yon fonksyon. Pou egzanp nou ka gade kas de koub ekspirimantal. Nan lot kas nou pa konnen metod pou eksprime primitif la ou nou pa bezwen ekspresyon analitik la e selman vale nimewik ase. Nou gen

Metod yo nimerik se konpoze a prann yon gwoup de vale yo${\displaystyle (x_{i},f(x_{i}))}$ , vale yo de ${\displaystyle x_{i}}$  se ekwidistan: ${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=p}$ . Epi nou ka aplike metòd diferan yo; ki gen de fason a fe som zòn yo ${\displaystyle S_{i}}$ :

• Metòd de rektang yo: ${\displaystyle S_{i}}$  se zòn rektangile de wotè ${\displaystyle f(x_{i})}$  e laje p, nou prann pou apwoksimasyon

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\cdot p}$ 

• Metòd de trapèz yo: ${\displaystyle S_{i}}$  se zon de yon trapez de bas yo ${\displaystyle f(x_{i})}$  e ${\displaystyle f(x_{i+1})}$ , et de wote p. E konsa nou prann pou apwoksimasyon:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}}\cdot p=\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})\cdot p+{\frac {f(x_{1})+f(x_{n})}{2}}\cdot p}$ 

Lòt metòd yo posib.