Интеграл

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. Шаблонът е поставен на 20:11, 13 юли 2018 (UTC).

Съществуват два основни вида интеграли, поради което понятието интеграл се разглежда по двата начина:

1. Определен интеграл: Интеграл на функцията ${\displaystyle f(x)}$ с дефиниционна област интервала ${\displaystyle [a,b]}$ и множество от стойности ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (реалните числа) е площта на функцията между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, абсцисната ос, като площта под интегрируемата координатна ос приемаме за отрицателна и изваждаме. Чрез определен интеграл се дефинира площта под функцията ${\displaystyle f(x)}$ между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.
2. Неопределен интеграл: Примитивната на функцията ${\displaystyle f(x)}$, отбелязвана често с ${\displaystyle F(x)}$. С неопределен интеграл се намира функция, чиято производна е интегрираната функция (${\displaystyle F'(x)=f(x)\forall {x}}$) в дефиниционния интервал.

В математическия анализ съществуват мнжество техники за дефиниране на интеграл, чрез които става възможно съществуването на различни класове интегруеми функции. Такива техники включват интеграли на реални, компексни и хиперкомпрексни функции; на функции с повече от една променлива; праволинеен, криволинеен, интеграл по затворени контур, площ или обем; специални инеграли като Риманов интеграл и неговото абстрактно обобщение – Лебегов интеграл и интегрални преобразувания.

Опити за интегриране са били правени още в древността, но в края на XVII век Нютон и Лайбниц създават основните правила на интегрирането. През XIX век Коши, Вайерщрас и др. допринасят за изграждането на математическия анализ, част от който е интегрирането, на строга логическа основа.

Нека ${\displaystyle J}$  е произволен интервал и ${\displaystyle f:J\rightarrow \mathbb {R} =\left(-\infty ,\infty \right)}$  е зададена функция. Тъй като ${\displaystyle f}$  е диференцируема и следователно непрекъсната в ${\displaystyle J}$ , примитивната на функцията, ${\displaystyle F}$ , следва също да е непрекъсната в ${\displaystyle J}$ .

Ако функцията ${\displaystyle F:J\rightarrow \mathbb {R} }$  е непрекъсната в интервала ${\displaystyle J}$  и равенството ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$  е изпълнено навсякъде в ${\displaystyle J}$  с изключение на краен брой стойности на x, където ${\displaystyle F}$  евентуално не е диференцируема, то ${\displaystyle F}$  се нарича обобщена примитивна на ${\displaystyle f}$  в ${\displaystyle J}$ . От съображения за пълнота се приема, че ако ${\displaystyle f}$  има примитивна ${\displaystyle F}$ , то тя има и обобщена примитивна, съвпадаща с ${\displaystyle F}$ .

Понякога в определението за обобщена примитивна се допуска условието ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$  да бъде нарушено и за безкрайна редица от стойности ${\displaystyle x_{i}}$  на аргумента ${\displaystyle x}$ . Възможно е обобщената примитивна да се дефинира без изискването за непрекъснатост. При това се допуска стойностите ${\displaystyle x_{i}}$ , за които равенството ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$  е нарушено, да са точки на прекъсване на ${\displaystyle F}$ . За приложенията обаче са важни само непрекъснатите примитивни.

Не всяка функция ${\displaystyle f}$  има примитивна, т.е. не всяка функция може да бъде производна на някаква друга функция. Така например, според теоремата на Дарбу, ако функцията ${\displaystyle F:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$  приема всички стойности между числата ${\displaystyle f\left(a\right)}$  и ${\displaystyle f\left(b\right)}$ . Следователно функцията ${\displaystyle f}$  няма примитивна, ако тя има точки на прекъсване от 1ви род. Функцията ${\displaystyle f}$  може да няма примитивна и в други случаи, например ако тя има някои прекъсвания от 2ри род. Възможно е функцията ${\displaystyle f:J\rightarrow \mathbb {R} }$  да няма примитивна (и съответно обобщена примитивна) поради наличие на точки на прекъсване, но свиването на ${\displaystyle f}$  в някой подинтервал ${\displaystyle K\subset J}$ , който не съдържа въпросните точки, има примитивна (обобщена примитивна). В този случай за краткост казваме, че самата ${\displaystyle f}$  има съответна примитивна в ${\displaystyle K}$ . Ако ${\displaystyle F}$  и ${\displaystyle \Phi }$  са две примитивни на ${\displaystyle f}$ , то те могат да се различават само с адитивна константа (${\displaystyle +C}$ ). Така, ако ${\displaystyle F}$  е примитивна на ${\displaystyle f}$ , всяка друга примитивна ${\displaystyle \Phi }$  на ${\displaystyle f}$  се определя от ${\displaystyle \Phi \left(x\right)=F\left(x\right)+C}$ , където C е константа.

Множеството на всички примитивни на дадена функция ${\displaystyle f}$  се нарича неопределен интеграл на дадената функция, ${\displaystyle f}$ , и се бележи с ${\displaystyle int\left(f\right)}$ . Според тази дефиниция всяка функция има определен интеграл. Действително, ако ${\displaystyle f}$  има примитивна ${\displaystyle F}$ , то ${\displaystyle int\left(f\right)}$  се състои от всички функции, които се отличават от ${\displaystyle F}$  с адитивна константа и следователно множеството ${\displaystyle int\left(f\right)}$  има същия брой елементи като реалните числа (${\displaystyle \mathbb {R} }$ ). Ако ${\displaystyle f}$  няма примитивна, то множеството ${\displaystyle Int\left(f\right)}$  е празно, което се записва като ${\displaystyle Int\left(f\right)=\emptyset }$ .

За примитивната ${\displaystyle F}$  на функцията ${\displaystyle f}$  е прието означението

$${\displaystyle F\left(x\right)=\int f\left(x\right)\,dx}$$

 

${\displaystyle f}$ 

${\displaystyle f\left(x\right)dx}$ 

${\displaystyle \int }$ 

Намирането на примитивна на дадена функция се нарича неопределено интегриране и се извършва чрез таблични интеграли. Интегрирането и диференцирането са взаимнообратни операции, т.е.:

$${\displaystyle d\int f\left(x\right)\,dx=f\left(x\right)\,dx}$$

 

$${\displaystyle \int dF\left(x\right)=F\left(x\right)}$$

 

Тъй като интегрирането е линеен оператор и функциите ${\displaystyle f,g:J\rightarrow \mathbb {R} }$  имат примитивни и ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$  са константи, то:

$${\displaystyle \int \left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)\,dx=\alpha \int f\left(x\right)\,dx+\beta \int g\left(x\right)\,dx}$$

 

 

Нека ${\displaystyle F}$  е примитивна на ${\displaystyle f}$  в ${\displaystyle J}$  и ${\displaystyle a\in J}$  е фиксирана точка от интервала ${\displaystyle J}$ . Тогава функцията ${\displaystyle \Phi }$  определена от ${\displaystyle \Phi \left(x\right)=F\left(x\right)-F\left(a\right)}$ , е също примитивна на ${\displaystyle f}$  в ${\displaystyle J}$ , която удовлетворява условието ${\displaystyle \Phi \left(x_{0}\right)=0}$ . За тази примитивна е запазено специално означение, а именно:

$${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\;dx=F(b)-F(a)}$$

 

Не съществуват определени интеграли за всяка функция. Това е довело до въвеждането на различни понятия за определен интеграл. Изобщо, на дадена функция ${\displaystyle f:J\rightarrow \mathbb {R} }$  и на даден подинтервал ${\displaystyle \left[a,b\right]\subset J}$  можем да съпоставим величината:

$${\displaystyle I=I(f,\left[a,b\right])}$$

 

Тази величина се нариче определен интеграл на функцията ${\displaystyle f}$  в интервала ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ , ако са изпълнени:

1. Линейност: Ако ${\displaystyle f,g:J\rightarrow \mathbb {R} }$  и ${\displaystyle \alpha ,\beta }$  са числа, то
   $${\displaystyle I\left(\alpha f+\beta g,\left[a,b\right]\right)=\alpha I\left(f,\left[a,b\right]\right)+\beta I\left(g,\left[a,b\right]\right)}$$

    
   където функцията ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$  е определена от ${\displaystyle x\rightarrow \alpha f(x)+\beta g(x)}$ .
   
2. Адитивност: Ако ${\displaystyle c\in \left[a,b\right]}$ , то
   $${\displaystyle I(f,\left[a,c\right])+I(f,\left[c,b\right])=I(f,\left[a,b\right])}$$

    
   В частност, ако ${\displaystyle a=x_{0}$  е разбивка на интервала ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ , то
   $${\displaystyle I(f,\left[a,b\right])=\sum \limits _{k=0}^{n-1}I(f,\left[x_{k},x_{k+1}\right])}$$

    
3. Нетривиалност: Ако означим с 1 постоянната функция ${\displaystyle x\rightarrow 1}$ , то
   $${\displaystyle I(1,\left[a,b\right])=b-a}$$

    

В математическия анализ са известни множество методи за интегриране на функция. Най-простият начин е чрез директно решаване на интеграла, като за целта може да се прибегне до табличните интеграли. Други методи са заместване, интегриране по части и т.н.

• Производна
• Математически анализ
• Таблични интеграли

• Online инструмент за изчисляване на интеграли