מספר P-אדי

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות ${\displaystyle \ p^{-N}}$, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

${\displaystyle \ a_{-N}p^{-N}+\dots +a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\dots }$ ,

עשויים המקדמים ${\displaystyle \ a_{-N},\dots ,a_{0},a_{1},a_{2},\dots }$  להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח ${\displaystyle \ 0\leq a_{i}$ , והצגה זו היא יחידה. על-כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים. מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\dots }$ , שבהם אין חזקות שליליות של p.

בין מספרים ה-p-אדיים a ו- b מגדירים מרחק לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+...}$  אזי ${\displaystyle |a|_{p}=p^{-k}}$  כאשר k הוא המספר הקטן ביותר שמקיים ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ . כמו כן, מגדירים ${\displaystyle |0|_{p}=0}$ . המטריקה היא ${\displaystyle d(a,b)=|a-b|_{p}}$ . תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים ${\displaystyle \ a_{n}p^{n}}$  הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה ${\displaystyle \ 1,p,p^{2},p^{3},\dots }$  שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה ${\displaystyle \ 1,p^{-1},p^{-2},\dots }$  היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם ${\displaystyle a_{n}\in \{0,1,...,p-1\}}$  שלכאורה הם חיוביים ולכן אפשר לחשוב שאי-אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדים. זה לא נכון. לדוגמה: יהי ${\displaystyle p=3}$  ונסתכל על המספר

${\displaystyle ...222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+...}$ 

נחבר לו את המספר 1, נקבל

${\displaystyle {\begin{array}{r}...{\stackrel {1}{2}}{\stackrel {1}{2}}{\stackrel {}{2}}\\^{+}...001\\\hline ...000\end{array}}}$ 

שכן 1+2=3 ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1+2=3 ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

${\displaystyle ...222+1=0}$ 

ולכן ${\displaystyle -1=...222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+...}$ 

במקרה הכללי מתקיים ש-${\displaystyle -1=\sum _{n=0}^{\infty }(p-1)\cdot p^{n}}$ . אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של ${\displaystyle p=3}$  אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן ${\displaystyle a_{0}=p-1,q=p}$  ולכן

${\displaystyle S={\frac {a_{0}}{1-q}}={\frac {p-1}{1-p}}=-1}$ 

כעת, כל מספר שלילי m ניתן להציג כמכפלה של ההצגה הפיאדית של ${\displaystyle |m|}$  בהצגה הפיאדית של ${\displaystyle -1}$ .

כל מספר רציונלי ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, ${\displaystyle \ {\frac {2}{3}}=4+1\cdot 5+3\cdot 5^{2}+1\cdot 5^{3}+3\cdot 5^{4}+\cdots }$ . אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור ${\displaystyle \ S=1+5^{2}+5^{4}+5^{6}+\cdots }$  מתכנס, וסכומו על-פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים, ${\displaystyle \ S={\frac {1}{1-5^{2}}}=-{\frac {1}{24}}}$ . לכן הסכום לעיל מתכנס ל- ${\displaystyle \ 4+5\cdot S+3\cdot 5^{2}\cdot S=4-{\frac {80}{24}}={\frac {2}{3}}}$ .

השבר המצומצם ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}}$  הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p אינו מחלק את המכנה b. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל, ${\displaystyle \ {\sqrt {7}}=1+3+3^{2}+2\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{7}+3^{8}+...}$  (ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר ${\displaystyle \ p\neq 2}$ , ו- a הוא מספר שלם זר ל-p ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- a שורש p-אדי אם ורק אם a הוא שארית ריבועית מודולו p. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מכיוון שלמספר השלילי ${\displaystyle \ 1-p^{3}}$  תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

${\displaystyle x=\left(...,x_{n},...,x_{1}\right)=(x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ 

כך שלכל ${\displaystyle n\geq 1}$  :${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$  (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

• הם מקיימים ${\displaystyle \forall n\leq m:x_{n}=x_{m}\mod p^{n}}$ 
• או באופן שקול, המעבר מ-${\displaystyle x_{n}}$  ל-${\displaystyle x_{n-1}}$  נעשה על ידי ${\displaystyle x+p^{n}\mapsto x+p^{n-1}}$ .

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ . אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

• חיבור: ${\displaystyle x+y=\left(...,x_{n},...,x_{1}\right)+\left(...,y_{n},...,y_{1}\right)=\left(...,x_{n}+y_{n},...,x_{1}+y_{1}\right)}$ 
• כפל: ${\displaystyle x\cdot y=\left(...,x_{n},...,x_{1}\right)\cdot \left(...,y_{n},...,y_{1}\right)=\left(...,x_{n}y_{n},...,x_{1}y_{1}\right)}$ 

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: ${\displaystyle x_{n}+y_{n}\ ,\ x_{n}\cdot y_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ).
זהו חוג עם אפס ${\displaystyle 0=(...,0,0)}$  ויחידה ${\displaystyle 1=(...,1,1,1)}$ . יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ .

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

${\displaystyle \left(...,x_{n},...,x_{1}\right)=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+a_{3}p^{3}+...}$ 

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

${\displaystyle x_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}p^{k}}$ 

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}a_{0}&=&x_{1}\\a_{1}&=&{\frac {x_{2}-x_{1}}{p}}\\a_{2}&=&{\frac {x_{3}-x_{2}}{p^{2}}}\\a_{3}&=&{\frac {x_{4}-x_{3}}{p^{3}}}\\&\vdots &\\a_{n}&=&{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}\\&\vdots &\\\end{array}}}$ 

או בנוסחה מפורשת:

${\displaystyle a_{n}={\frac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}=x_{n+1}\ \mathrm {div} \ p^{n}}$ 

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר: לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל: ${\displaystyle 8\ \mathrm {div} \ 3=(2+3\cdot 2)\ \mathrm {div} \ 3=2}$ ).

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הקרוי שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ , מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח שלמשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר ${\displaystyle \ p^{n}}$ . אוסף ההעתקות הרציפות מ-${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} =\cup _{n=1}^{\infty }p^{-n}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$ .

• שדה המספרים ה-p-אדיים
• חוג השלמים ה-p-אדיים

  מדיה וקבצים בנושא מספר p-אדי בוויקישיתוף

• מספר p-אדי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• אלכסנדר לובוצקי, שימושים ממשיים למספרים לא ממשיים, איגרת 37, דצמבר 2015
• אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
• מספר p-אדי, באתר MathWorld (באנגלית)