פולינומי צ'בישב

לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן ${\displaystyle p(x)}$ מקיים את האי-שוויון ${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}}$, והפולינומים ${\displaystyle 2^{1-n}T_{n}(x)}$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{0}(x)=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\end{aligned}}}$

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה ${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )}$ , שבגללה ${\displaystyle T_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n}}$  לכל ${\displaystyle x}$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)\end{aligned}}}$ 

מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה-${\displaystyle n}$ -י היא ${\displaystyle n}$ .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

$${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x))&:x\in [-1,1]\\\cosh(n\,{\text{arccosh}}(x))&:x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,{\text{arccosh}}(-x))&:x\leq -1\end{cases}}}$$
 

מן ההגדרה נובע כי

$${\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}(T_{m}(x))=T_{nm}(x)\\\\T_{n}(1)=1,\qquad T_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^{n}\end{matrix}}}$$
 

באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה

$${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k\,=\,0}^{\lfloor 0.5n\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}}$$
 

ולקבל את הפונקציה היוצרת

$${\displaystyle \sum _{n\,=\,0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}}$$
 

מתקיים גם השוויון ${\displaystyle T_{n}(x)=1+n^{2}(x-1)\prod _{k\,=\,1}^{n-1}\left(1+{\frac {x-1}{2\sin \!{\bigl (}{\frac {k\pi }{n}}{\bigr )}^{2}}}\right)}$ .

פולינומי צ'בישב ${\displaystyle \{T_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$  מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת ${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{1}(x)f_{2}(x)dx}$ .

מכך שמעלת ${\displaystyle T_{n}}$  היא ${\displaystyle n}$  נובע כי ${\displaystyle \cos(\theta )}$  פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה ${\displaystyle \mathbb {Q} [\cos(n\theta )]}$ , ובפרט הממד ${\displaystyle {\bigl [}\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]{\bigr ]}\leq n}$ . אם בוחרים ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2n}}}$  מתקבל ${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=0}$ , ולעיתים קרובות ${\displaystyle T_{n}}$  הוא הפולינום המינימלי של ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2n}}\right)}$ .

• מסנני צ'בישב