Fibonaccin Alkuluvut

Ensimmäiset Fibonaccin alkuluvut ovat:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1 597, 28 657, 514 229, 433 494 437, 2 971 215 073

Ei tiedetä, onko Fibonaccin alkulukuja äärettömän monta. Fibonaccin jonon F_n ensimmäiset 33 alkulukujäsentä löytyvät seuraavista paikoista, kun alaindeksi n kertoo, monesko jonon jäsen on kyseessä:

n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2 971, 4 723, 5 387, 9 311, 9 677, 14 431, 25 561, 30 757, 35 999, 37 511, 50 833, 81 839.

Näiden todistettujen alkulukujen lisäksi sarjasta on löydetty seuraavat mahdolliset alkuluvut:

n = 104 911, 130 021, 148 091, 201 107, 397 379, 433 781, 590 041, 593 689, 604 711, 931 517, 1 049 897, 1 285 607, 1 636 007, 1 803 059, 1 968 721

Tapaus n=4 pois lukien kaikilla Fibonaccin alkuluvuilla on alkulukuindeksi, mutta kaikki alkulukuindeksit eivät osoita alkulukua.

F_p on alkuluku kahdeksalla ensimmäisestä kymmenestä alkuluvusta. Poikkeukset ovat F₂ = 1 ja F₁₉ = 4 181 = 37 × 113. Indeksin kasvaessa Fibonaccin alkuluvut ovat kuitenkin harvinaisempia, ja F_p on alkuluku vain kahdellekymmenellekuudelle 1 229 alkuluvusta, jotka ovat pienempiä kuin 10 000.

Suurin tunnettu Fibonaccin alkuluku on F_81 839. Sen osoittivat alkuluvuksi David Broadhurst ja Bouk de Water vuonna 2001. Suurin tunnettu mahdollinen Fibonaccin alkuluku on F_1 968 721. Siinä on 411 439 numeroa ja sen löysi Henri Lifchitz vuonna 2009.

Alkulukuindeksisillä Fibonaccin luvuilla F_p ei ole lukua 1 suurempia yhteisiä jakajia identiteetin

syt(F_n, F_m) = F_syt(n,m).

vuoksi.

Jokaiselle n ≥ 3, F_n jakaa F_m:n jos ja vain jos n jakaa m:n.

Jos oletetaan, että m on alkuluku p yllä mainitusta identiteetistä ja n < p, niin selvästi nähdään, että F_p:llä ei voi olla yhteisiä tekijöitä aikaisempien Fibonaccin alkulukujen kanssa:

syt(F_p, F_n) = F_syt(p,n) = F₁ = 1