En la topología y áreas afines de las matemáticas, un subespacio de un espacio topológico X es un subconjunto S de X que está dotado de una topología inducida a partir de X llamada topología del subespacio (o topología relativa, o topología inducida, o topología de traza).
Dado un espacio topológico (X, ) y un subconjunto S de X, la topología del subespacio en S se define por
s = {SᑎU|Uᕮ }
Es decir, un subconjunto de S es abierto en la topología del subespacio si y sólo si es la intersección de S con un conjunto abierto en (X,ԏ). Si S está equipado con la topología del subespacio, entonces es un espacio topológico por derecho propio, y se llama subespacio de (X,ԏ) . Se suele suponer que los subconjuntos de los espacios topológicos están equipados con la topología del subespacio, a menos que se indique lo contrario.
Alternativamente podemos definir la topología del subespacio para un subconjunto S de X como la topología más gruesa para la que el mapa de inclusión : S → X es continuo.
Más generalmente, supongamos que es una inyección desde un conjunto S a un espacio topológico X. Entonces la topología del subespacio sobre S se define como la topología más gruesa para la que ί es continua. Los conjuntos abiertos en esta topología son precisamente los de la forma para U abierto en X. S es entonces homeomorfo a su imagen en X (también con la topología subespacial) e se llama una incrustación topológica.
Un subespacio S se llama subespacio abierto si la inyección es un mapa abierto, es decir, si la imagen directa de un conjunto abierto de S es abierta en X. Igualmente se llama subespacio cerrado si la inyección es un mapa cerrado.
La distinción entre un conjunto y un espacio topológico a menudo se desdibuja notacionalmente, por conveniencia, lo que puede ser una fuente de confusión cuando uno se encuentra por primera vez con estas definiciones. Así, siempre que S es un subconjunto de X, y (X, ) es un espacio topológico, entonces los símbolos sin adornos "S" y "X" pueden usarse a menudo para referirse tanto a S como a X considerados como dos subconjuntos de X, y también a y como los espacios topológicos, relacionados como ya se ha dicho. Así, frases como "S un subespacio abierto de X" se utilizan para significar que ) es un subespacio abierto de en el sentido utilizado anteriormente; es decir: (i) ; y (ii) S se considera dotado de la topología del subespacio.
A continuación, representa los números reales con su topología habitual.
Esta propiedad es característica en el sentido de que se puede utilizar para definir la topología del subespacio en Y.
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