En la teoría de Galois, un resolutivo para un grupo de permutaciones G es un polinomio cuyos coeficientes dependen polinomialmente de los coeficientes de un polinomio p dado y tiene, en términos generales, una raíz racional si y sólo si el grupo de Galois de p está incluido en G .
Más exactamente, si el grupo de Galois está incluido en , entonces el resolutivo tiene una raíz racional, y lo contrario es cierto si la raíz racional es una raíz simple. Los disolventes fueron introducidos por Joseph Louis Lagrange y utilizados sistemáticamente por Évariste Galois. Hoy en día siguen siendo una herramienta fundamental para calcular grupos de Galois. Los ejemplos más simples de resolutivos son
Estos tres resolutivos tienen la propiedad de ser siempre separables, lo que significa que, si tienen raíz múltiple, entonces el polinomio p no es irreducible. No se sabe si existe un resolutivo siempre separable para cada grupo de permutaciones.
Para cada ecuación, las raíces pueden expresarse en términos de radicales y de una raíz de un resolutivo para un grupo resoluble, porque el grupo de Galois de la ecuación sobre el campo generado por esta raíz es resoluble.
Sea un entero positivo cuál será el grado de la ecuación que consideraremos, y una lista ordenada de indeterminados. Esto define el polinomio genérico de grado .
donde es el iésimo polinomio simétrico elemental.
El grupo simétrico actúa sobre permutándolos, y esto induce una acción sobre los polinomios en . La órbita de un polinomio dado bajo esta acción es generalmente todo el grupo , pero algunos polinomios tienen una órbita más pequeña. Por ejemplo, la órbita de un polinomio simétrico elemental se reduce a sí misma. Si la órbita no es todo el grupo simétrico, el polinomio queda fijado por algún subgrupo ; se dice que es un invariante de . A la inversa, dado un subgrupo de , un invariante de es un invariante resolutivo para si no es un invariante de ningún subgrupo mayor de .
Encontrar invariantes resolutivas para un grupo determinado es relativamente fácil: por ejemplo, se puede elegir un monomio y considerar la suma de los monomios en esta órbita. En el caso del subgrupo de orden 8 de , el monomio dada, para una de las posibles acciones de el invariante que es un invariante resolutivo para este grupo, utilizado para definir el resolutivo cúbico de la ecuación de cuarto grado.
Si es un invariante resolutivo para un grupo de índice , entonces su órbita bajo Sn tiene un orden . Dejar ser los elementos de esta órbita. Entonces el polinomio
es invariante bajo . Por lo tanto, cuando se expanden, sus coeficientes son polinomios en que son invariantes bajo la acción del grupo de simetría y, por lo tanto, pueden expresarse como polinomios en los polinomios simétricos elementales. En otras palabras, es un polinomio irreducible en cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de . Al tener el invariante resolutivo como raíz, se llama resolutivo (a veces ecuación resolutiva).
Consideremos ahora un polinomio irreducible
con coeficientes en un campo dado (típicamente el campo de racionales) y raíces xi en una extensión de campo algebraicamente cerrada. Sustituyendo por y los coeficientes de por los de en lo anterior, obtenemos un polinomio también llamado solvente o solvente especializado en caso de ambigüedad). Si el grupo de Galois de está contenido en , la especialización del invariante resolutivo es invariante por y, por tanto, es una raíz de tiene una raíz racional, que no es una raíz múltiple, el grupo de Galois de está contenido en .
Hay algunas variantes en la terminología.
donde es una raíz enésima primitiva de la unidad. Es el invariante resolutivo de un resolutivo de Galois para el grupo de identidad.
El grupo de Galois de un polinomio de grado es o un subgrupo adecuado del mismo. Si un polinomio es separable e irreducible, entonces el grupo de Galois correspondiente es un subgrupo transitivo.
Subgrupos transitivos de formar un gráfico dirigido: un grupo puede ser un subgrupo de varios grupos. Un resolutivo puede decir si el grupo de Galois de un polinomio es un subgrupo (no necesariamente adecuado) de un grupo dado. El método resolutivo es simplemente una forma sistemática de verificar grupos uno por uno hasta que solo sea posible un grupo. Esto no significa que se deban verificar todos los grupos: cada resolutivo puede cancelar muchos grupos posibles. Por ejemplo, para polinomios de grado cinco nunca es necesario un resolutivo de solventes para y dar la información deseada.
Una forma es comenzar desde subgrupos máximos (transitivos) hasta encontrar el correcto y luego continuar con subgrupos máximos de ese.
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