Συμβολισμός Ντιράκ

Η βασική υπόθεση της κβαντομηχανικής είναι πως σε κάθε δυναμική κατάσταση αντιστοιχεί ένα διάνυσμα. Τα διανύσματα αυτά ανήκουν σ' έναν γραμμικό (διανυσματικό) χώρο απείρων διαστάσεων έχων εσωτερικό γινόμενο (χώρος Χίλμπερτ). Η μαθηματική περιγραφή της κβαντομηχανικής χρήσει συμβολισμού Dirac είν' ουσιωδώς χρήσει διαφορετικού φορμαλισμού.

Στην κβαντομηχανική τ' οποιοδήποτε φυσικό σύστημα περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση (συνήθως συμβολίζεται με Ψ). Στηn μαθηματική περιγραφή χωρίς συμβολισμό Dirac, η κυματοσυνάρτηση είναι συνάρτηση του χώρου και χρόνου, οπότε συμβολίζεται ως ${\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)}$ . Σημαντικό μέγεθος που παράγεται απ' αυτήν την συνάρτηση είναι τ' ολοκλήρωμα:

${\displaystyle \int _{K}\Psi ^{*}\Psi dV}$ 

(Το αστεράκι πάνω δεξιά συμβολίζει την μιγαδική συζυγία.)

Σύμφωνα με τη στατιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής, αυτό τ' ολοκλήρωμα είν' η πιθανότητα ευρέσεως του φυσικού συστήματος εντός (Ευκλείδιου γεωμετρικού) χώρου ${\displaystyle K}$ . Για κάθε φυσικό μέγεθος υπάρχει στην κβαντομηχανική ο αντίστοιχος τελεστής. Εάν ο τελεστής είν' ο ${\displaystyle {\hat {A}}}$ , τότε το μέγεθος ισούται με το ολοκλήρωμα:

${\displaystyle \int \Psi ^{*}({\hat {A}}\Psi )dV=\int ({\hat {A}}\Psi )^{*}\Psi dV}$ 

Τα ket συμβολίζονται με ${\displaystyle |\psi \rangle }$ . Ο δυικός του χώρος του χώρου Χίλμπερτ έχει ως διανύσματα τα bra που συμβολίζονται με ${\displaystyle \langle \psi |}$ . Ετσι το εσωτερικό γινόμενο στο χώρο Χίλμπερτ συμβολίζεται ως ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$  Η σχέση μεταξύ bra και ket είναι αντιγραμμική, δηλαδή

${\displaystyle \left(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle \right)^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|.}$ 

(Το στιλέτο πάνω δεξιά συμβολίζει τον ερμιτιανό συζυγή.)

Το ket πολλαπλασιαζόμενο απο δεξιά απο ενα bra σχηματίζει ενα bra-ket (αγκύλη).

Το ket αντιστοιχεί στην κυματοσυνάρτηση, δηλαδή Ψ=${\displaystyle |\Psi \rangle }$ . Το bra αντιστοιχεί στο υπόλοιπο τμήμα του ολοκληρωματος, δηλαδή:

${\displaystyle \langle \Phi |\Psi \rangle =\int _{K}\Phi ^{*}\Psi dV}$ 

Η ολοκλήρωση με τελεστή συμβολίζεται ως εξής:

${\displaystyle \langle \Psi |A|\Psi \rangle =\int \Psi ^{*}(A\Psi )dV=\int (A\Psi )^{*}\Psi dV}$ 

Η παραπάνω μαθηματική αντιστοιχία δεν ισχύει, οι φυσικοί έχουν αλλάξει τη μαθηματική περιγραφή των bra, των ket και των τελεστών. Ο λόγος είναι ότι από φυσική άποψη δεν ενδιαφέρει η μαθηματική περιγραφή αλλά τα αποτελέσματα της θεωρίας. Πιο συγκεκριμένα στη κβαντομηχανική ενδιαφέρουν οι τιμές των τελεστών ${\displaystyle \langle \Psi |A|\Psi \rangle }$ . Οι πράξεις μεταξύ πινάκων είναι πιο εύκολες από τον υπολογισμό μιγαδικών ολοκληρωμάτων, οπότε πλέον τα bra και τα ket, από μαθηματική άποψη είναι πίνακες. Ωστόσο, η αντιστοιχία των τελεστών και των κυματοσυναρτήσεων με τους πίνακες δεν είναι απόλυτη και εξαρτάται από το ίδιο το πρόβλημα που περιγράφεται με το συμβολισμό Ντιράκ.

Κυριάκου Ταμβάκη (2003), Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική