Hilbertwürfel: Unendlichdimensionaler Würfel mit einer kompakten Topologie

Der Hilbertwürfel ${\displaystyle W}$  ist der Produktraum ${\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}}$ , versehen mit der Produkttopologie. Das bedeutet im Einzelnen:

• ${\displaystyle W}$  ist die Menge aller Folgen ${\displaystyle x=(\xi _{n})_{n}}$  mit ${\displaystyle 0\leq \xi _{n}\leq 1}$  für alle ${\displaystyle n}$ .
• Eine Folge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$  in ${\displaystyle W}$ , wobei ${\displaystyle x_{m}=(\xi _{n}^{(m)})_{n}}$ , konvergiert genau dann gegen ein ${\displaystyle x=(\xi _{n})_{n}\in W}$ , wenn ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\xi _{n}^{(m)}=\xi _{n}}$  für alle Indizes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ .

• Der Hilbertwürfel ist zusammenhängend und wegzusammenhängend, denn diese Eigenschaften übertragen sich auf Produkträume.
• Der Hilbertwürfel ist ein kompakter Hausdorffraum, wie unmittelbar aus dem Satz von Tychonoff folgt.
• Der Hilbertwürfel ist metrisierbar, eine die Topologie definierende Metrik ist durch

${\displaystyle d((\xi _{n})_{n},(\eta _{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\xi _{n}-\eta _{n}|}{2^{n}}}}$ 
gegeben.

• Wie alle kompakten, metrisierbaren Räume ist der Hilbertwürfel separabel und genügt dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom (und damit auch dem Ersten Abzählbarkeitsaxiom). Hierbei ist die Menge

${\displaystyle D=\{(\xi _{n})_{n}\in W;\,\xi _{n}\in \mathbb {Q} {\mbox{ und }}\xi _{n}=0{\mbox{ für fast alle }}n\}}$ 
eine abzählbare dichte Teilmenge von ${\displaystyle W}$ . Die Menge aller ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}}$ -Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus ${\displaystyle D}$  ist dann eine abzählbare Basis.

• Die lebesgue'sche Überdeckungsdimension des Hilbertwürfels ${\displaystyle W}$  ist unendlich, denn für jedes ${\displaystyle m}$  enthält der Hilbertwürfel den zu ${\displaystyle [0,1]^{m}}$  homöomorphen Unterraum ${\displaystyle W_{m}:=\{(\xi _{n})_{n}\in W;\,\xi _{n}=0{\mbox{ für alle }}n>m\}}$ , muss daher eine Dimension ${\displaystyle \geq m}$  haben für alle ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$  und das heißt ${\displaystyle \dim W=\infty }$ .

Kompakte Räume mit abzählbarer Basis

Der Hilbertwürfel ${\displaystyle W}$  ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis. ${\displaystyle W}$  ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt:

• Jeder kompakte Hausdorffraum mit abzählbarer Basis ist homöomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum des Hilbertwürfels.

Polnische Räume

Auch polnische Räume lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt:

• Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die ${\displaystyle G_{\delta }}$ -Mengen im Hilbertwürfel.
• Die kompakten, polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen im Hilbertwürfel.

Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$  der quadratsummierbaren Folgen. Definiere

${\displaystyle {\tilde {W}}:=\{(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2};\,|\xi _{n}|\leq {\tfrac {1}{n}}{\mbox{ für alle }}n\}}$ .

Dann ist ${\displaystyle \textstyle \varphi \colon W\rightarrow {\tilde {W}},(\xi _{n})_{n}\mapsto ({\frac {2\xi _{n}-1}{n}})_{n}}$  ein Homöomorphismus, wenn man ${\displaystyle {\tilde {W}}}$  mit der Teilraumtopologie der Normtopologie des Hilbertraums ${\displaystyle \ell ^{2}}$  versieht. Beachte, dass ${\displaystyle {\tilde {W}}}$  keine Nullumgebung in ${\displaystyle \ell ^{2}}$  ist, denn ${\displaystyle {\tilde {W}}}$  enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf ${\displaystyle {\tilde {W}}}$  die relative Normtopologie und die relative schwache Topologie zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{2^{n}}}]}$  oder ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}]}$  oder ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{n}}]}$ , versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre ${\displaystyle W}$  selbst eine Teilmenge des Hilbertraums ${\displaystyle \ell ^{2}}$ . Die erste Variante wird in verwendet, dort spricht der Autor wegen der unterschiedlichen Seitenlängen auch nicht vom Hilbertwürfel, sondern vom Hilbertquader, ebenso in , wo die dritte Variante zur Definition herangezogen wird.

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581).