Funció K

Formalment, la funció K es defineix com

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,dt\right].}$ 

També es pot donar en forma tancada com

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}$ 

on ζ'(z) denota la derivada de la funció zeta de Riemann, i ζ(a,z) denota la funció zeta de Hurwitz, i

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right]_{s=a}.}$ 

Una altra funció, usant la funció poligamma, és

${\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)}$ 

O usant la generalització equilibrada de la funció poligamma:

${\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}}$ 
on A és la constant de Glaisher-Kinkelin.

Més prosaicament, es pot escriure

${\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}$ 

o

${\displaystyle K(n)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.}$ 

El 2003, Benoit Cloitre va demostrar que

${\displaystyle {\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}{\mbox{det}}{\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{1 \over 2}&{1 \over 4}&{1 \over 8}&\cdots &{1 \over 2^{n}}\\-{1 \over 3}&-{1 \over 9}&-{1 \over 27}&\cdots &-{1 \over 3^{n}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{(-1)^{n} \over n}&{(-1)^{n} \over n^{2}}&{(-1)^{n} \over n^{3}}&\cdots &{(-1)^{n} \over n^{n}}\\\end{vmatrix}}}$ 

La funció K està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció G-Barnes; per als nombres naturals n, tenim

${\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}$ 

També tenim

${\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\},}$ 

per a tot ${\displaystyle z\in \mathbb {C} .}$ 

Els primers valors de la funció són:

K(0) = 1

K(1) = 1

K(2) = 4

K(3) = 108

K(4) = 27.648

K(5) = 86.400.000

K(6) = 4.031.078.400.000

K(7) = 3.319.766.398.771.200.000

K(8) = 55.696.437.941.726.556.979.200.000

K(9) = 21.577.941.222.941.856.209.168.026.828.800.000

K(10) = 215.779.412.229.418.562.091.680.268.288.000.000.000.000.000

El valor de ${\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})}$  ve donat per

${\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}}$ 

on ${\displaystyle A}$  representa la constant de Glaisher-Kinkelin.