長さ
三角形とそのチェビアンd スチュワートの定理 チェビアンの長さd はスチュワートの定理 を用いて次の様に求めることができる。
b 2 m + c 2 n = a ( d 2 + m n ) . {\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).} 中線 チェビアンが中線 である場合、中線定理 を用いることができる。
m ( b 2 + c 2 ) = a ( d 2 + m 2 ) {\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})} 2 ( b 2 + c 2 ) = 4 d 2 + a 2 {\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}} d = 2 b 2 + 2 c 2 − a 2 2 . {\displaystyle d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.} ただし a = 2 m . {\displaystyle \,a=2m.}
角の二等分線 チェビアンが角の二等分線 の場合、以下の様に求められる。
( b + c ) 2 = a 2 ( d 2 m n + 1 ) , {\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),} d 2 + m n = b c {\displaystyle d^{2}+mn=bc} d = 2 b c s ( s − a ) b + c {\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}} ただし、sは半周長 ( s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}} )
頂垂線 チェビアンが頂垂線 である場合、以下の様に求められる。
d 2 = b 2 − n 2 = c 2 − m 2 {\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}} d = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) a , {\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},} 比率
3つのチェビアンが共点 図の様に、それぞれの頂点に対するチェビアンが内部の点で交わっているとき、以下の式が成り立つ。
A F ¯ F B ¯ ⋅ B D ¯ D C ¯ ⋅ C E ¯ E A ¯ = 1 A O ¯ O D ¯ = A E ¯ E C ¯ + A F ¯ F B ¯ ; O D ¯ A D ¯ + O E ¯ B E ¯ + O F ¯ C F ¯ = 1 ; A O ¯ A D ¯ + B O ¯ B E ¯ + C O ¯ C F ¯ = 2. {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}} 最初の式はチェバの定理 である。
中界線 周長を二等分するチェビアンは中界線(Splitter )と呼ばれ、ナーゲル点 で交わる。
面積の二等分線 面積を二等分するチェビアンは中線 で、重心で交わる。
角の三等分線 6本の角の三等分線の辺に対して同じ側にあるもの交点は、モーリーの三角形 と呼ばれる正三角形 を成す。
チェビアンで分割された三角形の面積
チェバ三角形
△ABC と点P について直線BC ,AP の交点をD 、直線CA ,BP の交点をE ,直線AB ,CP の交点をF とする。△DEF をP のチェバ三角形 (Cevian triangle)という。P の重心座標 をp : q : r とし、D,E,F の重心座標は以下の様に与えられる。
D = 0 : q : r , E = p : 0 : r , F = p : q : 0 {\displaystyle D=0:q:r,\quad E=p:0:r,\quad F=p:q:0}
例 チェバ円 チェバ三角形の外接円 をチェバ円 (cevian circle)またはチェビアン円 という。
例 チェバ円共役 △ABC と点P について、P のチェバ三角形を△DEF 、チェバ円をΓ とする。またΓ とBC,CA,AB の、D,E,F でない方の交点をそれぞれA",B",C" とする。このとき、3つのチェビアンAA",BB",CC" は一点で交わる。この3つのチェビアンの交点を、チェバ円共役点 と言い、P とそのチェビアン円共役点の関係をチェバ円共役 (Cyclocevian conjugate)またはチェビアン円共役 という。またチェバ円共役点のチェバ三角形をチェバ円三角形 (Cyclocevian triangle)と言う。チェバ円共役が成り立つことはテルケムの定理 と呼ばれている。
例 ジェルゴンヌ点は自身とチェバ円共役 重心と垂心はチェバ円共役 P の三線座標 をp : q : r 、a,b,c を三角形の辺の長さとし、チェバ円共役点の三線座標は以下の式で与えられる。
1 a ( p 2 q 2 + p 2 r 2 − q 2 r 2 ) + 2 p q r ( a p + b q + c r ) cos A : 1 b ( q 2 r 2 + q 2 p 2 − r 2 p 2 ) + 2 p q r ( a p + b q + c r ) cos B : 1 c ( r 2 p 2 + r 2 q 2 − p 2 q 2 ) + 2 p q r ( a p + b q + c r ) cos C {\displaystyle {\frac {1}{a(p^{2}q^{2}+p^{2}r^{2}-q^{2}r^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos A}}:{\frac {1}{b(q^{2}r^{2}+q^{2}p^{2}-r^{2}p^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos B}}:{\frac {1}{c(r^{2}p^{2}+r^{2}q^{2}-p^{2}q^{2})+2pqr(ap+bq+cr)\cos C}}} 反チェバ三角形 △ABC と点P について、以下の3つの条件を満たす三角形△A'B'C' をP の反チェバ三角形 (Anticevian triangle)という。
A'B'C' はそれぞれAP,BP,CP 上にある。 B'C',C'A',A'B' はそれぞれ点A,B,C を通る。 △A'B'C' に対するP のチェバ三角形は△ABC である。 P の三線座標 をp : q : r とし、A',B',C' の三線座標は以下の様に与えられる。
A ′ = − p : q : r , B ′ = p : − q : r , C ′ = p : q : − r {\displaystyle A'=-p:q:r,\quad B'=p:-q:r,\quad C'=p:q:-r}
例 チェバ共役
△ABC と任意の点P,Q について、P のチェバ三角形とQ の反チェバ三角形は配景的(英語版 ) である。この配景の中心をQ のP チェバ共役点 といい、Q とQ のP チェバ円共役点の関係をチェバ共役 (Ceva conjugate)という。
例 P の三線座標 をp : q : r 、Q の三線座標をp' : q' : r' とすると、Q のP チェバ共役点の三線座標は以下の式で与えられる。
p ′ ( − p ′ p + q ′ q + r ′ r ) : q ′ ( − q ′ q + r ′ r + p ′ p ) : r ′ ( − r ′ r + p ′ p + q ′ q ) {\displaystyle p'(-{\frac {p'}{p}}+{\frac {q'}{q}}+{\frac {r'}{r}}):q'(-{\frac {q'}{q}}+{\frac {r'}{r}}+{\frac {p'}{p}}):r'(-{\frac {r'}{r}}+{\frac {p'}{p}}+{\frac {q'}{q}})}
このように3つの三角形D,E,F について、D がE の、E がF のチェビアン三角形になっていることをチェバ線の入れ子 (Cevian nest)と言う。チェバ線の入れ子の2組が配景的であるとき、残り1組も配景的である。
チェバ点
△ABC と任意の点P,Q について、Q の反チェバ三角形を△A"B"C" 、BC,A"P の交点をA' とする。B',C' も同様に定義する。 △ABC と△A'B'C' は配景的であり、配景の中心をP,Q のチェバ点 (cevapoint)という。このときP はQ のP,Q のチェバ点チェバ共役、Q はP のP,Q のチェバ点チェバ共役と言うことができる。
P の三線座標 をp : q : r 、Q の三線座標をp' : q' : r' とすると、P,Q のチェバ点の三線座標は以下の式で与えられる。
( p q ′ + q p ′ ) ( p r ′ + r p ′ ) : ( q r ′ + r q ′ ) ( q p ′ + p q ′ ) : ( r p ′ + p r ′ ) ( r q ′ + q r ′ ) {\displaystyle (pq'+qp')(pr'+rp'):(qr'+rq')(qp'+pq'):(rp'+pr')(rq'+qr')}
関連 出典 関連 Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One) , Allyn and Bacon Ross Honsberger (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , pages 13 and 137. Mathematical Association of America. Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." American Mathematical Monthly 36: 476–479. Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions , Vol 24 (02) , pp. 29–37.
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