Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 6

Finde eine irreduzible Ganzheitsgleichung(über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$)für die Eisensteinzahl${\displaystyle {}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra.Zeige, dass wenn ${\displaystyle {}R}$ ein Körperist, die Begriffealgebraischund ganzfür ein Element ${\displaystyle {}x\in A}$ übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen Integritätsbereich,der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ Integritätsbereicheund sei${\displaystyle {}R\subseteq S}$eine ganze Ringerweiterung.Es sei${\displaystyle {}f\in R}$ein Element, das in ${\displaystyle {}S}$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ dann schon in ${\displaystyle {}R}$ eine Einheit ist.

Es sei ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine ganze Ringerweiterung und sei ${\displaystyle {}f\in R}$. Zeige: Wenn ${\displaystyle {}f}$, aufgefasst in ${\displaystyle {}S}$, eine Einheit ist, dann ist ${\displaystyle {}f}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}R}$.

Man gebe ein Beispiel einerganzen Ringerweiterung${\displaystyle {}R\subseteq S}$, wo es einen Nichtnullteiler${\displaystyle {}f\in R}$ gibt, der ein Nullteiler in ${\displaystyle {}S}$ wird.

Berechne in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)}$

${\displaystyle (2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)}$

(${\displaystyle {}x}$ bezeichne die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperund sei ${\displaystyle {}A}$ eineendlichdimensionale${\displaystyle {}K}$-Algebra.Zeige direkt(ohneLemma 6.7),dass ${\displaystyle {}A}$ ganzüber ${\displaystyle {}K}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}R\subseteq S}$eine Ringerweiterungzwischen endlichenkommutativen Ringen${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$.Zeige, dass eineganze Ringerweiterungvorliegt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund

${\displaystyle {}S=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,}$

eine(als Algebra) endlich erzeugte${\displaystyle {}R}$-Algebra,die ganzüber ${\displaystyle {}R}$ sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}S}$ einendlich erzeugter${\displaystyle {}R}$-Modulist.

Es sei${\displaystyle {}R\subseteq S}$ eine ganze Erweiterungvon Integritätsbereichenund sei${\displaystyle {}F\subseteq R}$ein multiplikatives System.Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung${\displaystyle {}R_{F}\subseteq S_{F}}$ ganz ist.

1. Es sei ${\displaystyle {}R}$ einIntegritätsbereich.Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ ganz-abgeschlossenim Polynomring${\displaystyle {}R[X]}$ ist.
2. Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich.Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ genau dann normalist, wenn er mit seiner Normalisierungübereinstimmt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von ${\displaystyle {}R}$ gleich dem Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(R)}$ ist. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}R}$ selbst schon ein Körper ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einnormaler Integritätsbereichund sei${\displaystyle {}S\subseteq R}$einmultiplikatives System.Zeige, dass dann auch dieNenneraufnahme${\displaystyle {}R_{S}}$ normal ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle R_{i}\subseteq K,\,i\in I}$, eine Familie von normalenUnterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt ${\displaystyle {}\bigcap _{i\in I}R_{i}}$ normal ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich.Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}R}$ istnormal.
2. Für jedes Primideal${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ist die Lokalisierung${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ normal.
3. Für jedes maximale Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ ist die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}}$ normal.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein normaler Integritätsbereichund ${\displaystyle {}a\in R}$. Es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}a}$ keine Quadratwurzel in ${\displaystyle {}R}$ besitzt. Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}-a}$ primin ${\displaystyle {}R[X]}$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper${\displaystyle {}Q(R)}$. Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibeläquivalent sein.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereichmit Normalisierung${\displaystyle {}R^{\operatorname {norm} }}$. Zeige, dass durch

${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}={\left\{g\in R\mid gR^{\operatorname {norm} }\subseteq R\right\}}\,}$

einIdealin ${\displaystyle {}R}$ gegeben ist.

Es sei ${\displaystyle {}k}$ eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring

${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [k{\mathrm {i} }]={\left\{a+ck{\mathrm {i} }\mid a,c\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\,.}$

Zeige die Isomorphie${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+k^{2})}$und dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ ganzüber ${\displaystyle {}R}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperund betrachte den Restklassenring

${\displaystyle {}R=K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})\,.}$

Dies ist ein Integritätsbereichnach Aufgabe 6.17.Zeige, dass die Normalisierungvon ${\displaystyle {}R}$ gleich dem Polynomring ${\displaystyle {}K[T]}$ ist. Skizziere die Nullstellenmenge von${\displaystyle {}F=X^{2}-Y^{3}}$in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.

Es sei

${\displaystyle {}P=X^{2}-3X+7\,}$

und

${\displaystyle {}Q=Y^{3}-Y^{2}+4Y-5\,.}$

Begründe, dass die Ringerweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(P,Q)\,}$

ganzist und finde eine Ganzheitsgleichungfür ${\displaystyle {}x+y}$ und für ${\displaystyle {}xy}$ (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein normaler Integritätsbereichund${\displaystyle {}R\subseteq S}$eine ganze Ringerweiterung.Sei${\displaystyle {}f\in R}$.Zeige, dass für das von ${\displaystyle {}f}$ erzeugte Hauptidealgilt:

${\displaystyle {}R\cap (f)S=(f)R\,.}$

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${\displaystyle {}a,b\geq 1}$ und ${\displaystyle {}n\geq 2}$ die Zahl ${\displaystyle {}a^{n}-b^{n}}$ nicht ein Teiler von ${\displaystyle {}a^{n}+b^{n}}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}R,S,T}$kommutative Ringeund seien ${\displaystyle {}\varphi :R\rightarrow S}$ und ${\displaystyle {}\psi :S\rightarrow T}$ Ringhomomorphismen derart, dass ${\displaystyle {}S}$ ganz über ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}T}$ ganz über ${\displaystyle {}S}$ ist. Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}T}$ ganz über ${\displaystyle {}R}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperund betrachte den Ringhomomorphismus${\displaystyle {}\varphi \colon R=K[X,Y]\rightarrow K[T]}$,der durch die Einsetzung

${\displaystyle X\longmapsto (T-1)(T+1){\text{ und }}Y\longmapsto T(T-1)(T+1)}$

gegeben ist. Finde ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom${\displaystyle {}F\in K[X,Y]}$derart, dass ${\displaystyle {}F}$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet wird. Skizziere die Nullstellenmengevon ${\displaystyle {}F}$ in der reellen Ebene.

Definiere unter Anlehnung an die Parametrisierung der pythagoreischen Tripel einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y,Z]/(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} [U,V].}$

Zeige, dass dieser injektiv, aber nicht surjektiv ist.