Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 29

Das Residuum einer Kohomologieklasse

Es sei ${}X$ einekompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.NachSatz 16.15gibt es eine exakte kurze Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.

Eine Kohomologieklasse ${}c\in H^{1}(X,\Omega _{X})$ wird wegen ${}H^{1}(X,{\mathcal {E}}^{(1,0)})=0$ über den verbindenden Homomorphismus von einer Flächenform ${}\sigma \in H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ repräsentiert. Diese ist bis auf das Bild einer differenzierbaren ${}(1,0)$ -Form, also ${}d\omega$ , eindeutig bestimmt. NachSatz 89.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))ist

{}\int _{X}d\omega =0\,.

Wir definieren das Residuum zur Kohomologieklasse ${}c$ durch

{}\operatorname {Res} _{}\left(c\right):={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \,,

und dies ist unabhängig von der gewählten Flächenform ${}\sigma$ , die ${}c$ realisiert. Dies definiert einen Homomorphismus

H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow {\mathbb {C} }.

Dieser ist surjektiv, da es auf ${}X$ nachSatz 88.10 (Analysis (Osnabrück 2014-2016))reelle überall positive Flächenformen gibt, deren Gesamtintegral somit positiv ist.

Beispiel

Wir betrachten auf derprojektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Flächenform ${}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ bzw. ${}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}$ auf der affinen Standardüberdeckung ${}U$ bzw. auf ${}V$ . Wegen

{}{\begin{aligned}{\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}dz^{-1}\wedge d\,{\overline {z^{-1}}}&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\overline {dz^{-1}}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}dz\wedge {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {-1}{z^{2}}}\cdot {\frac {-1}{{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{z^{2}{\overline {z}}^{2}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z^{-1}}\vert ^{4}}}\cdot {\frac {1}{\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&={\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\end{aligned}}

stimmen die Flächenformen auf dem Durchschnitt überein, es handelt sich also um eine wohldefinierte positive Flächenform ${}\sigma$ auf der projektiven Geraden.

Wir verfolgen diese Form in der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

ausSatz 16.15.Auf den beiden offenen Mengen ist die Flächenform ${}\sigma$ die äußere Ableitung einer ${}1$ -Form. Auf ${}U$ ist nachAufgabe 1.15

-{\frac {1}{z}}\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}dz

ein Urbild und auf ${}V$ entsprechend

{}{\begin{aligned}-{\frac {1}{w}}\arctan {\left(w{\overline {w}}\right)}dw&=-z\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz^{-1}\\&={\frac {1}{z}}\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}dz.\end{aligned}}

Aufgrund der Potenzreihenentwicklung sind diese ${}1$ -Formen jeweils auf ${}U$ bzw. auf ${}V$ definiert. Die Differenz der beiden Formen ist unter Verwendung vonAufgabe 21.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))gleich

{}{\frac {1}{z}}{\left(\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}+\arctan {\left({\left(z{\overline {z}}\right)}^{-1}\right)}\right)}dz={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {dz}{z}}\,.

In dieser Form beschreibt diese Differenz, aufgefasst als holomorphe Differentialform auf ${}U\cap V$ eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${}H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}})$ .

Unter Verwendung vonAufgabe 74.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))ist

{}{\begin{aligned}\int _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}\sigma &=\int _{U}{\frac {1}{1+\vert {z}\vert ^{4}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\\&=-2{\mathrm {i} }\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dx\wedge dy\\&=-{\mathrm {i} }\pi ^{2}.\end{aligned}}

Das Residuum der zugehörigen Kohomologieklasse ist somit

{}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(-{\mathrm {i} }\pi ^{2}\right)}=-{\frac {\pi }{2}}\,.

NachLemma 18.15gibt es auch die kurze exakte Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {M}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,

mit der man ebenfalls die erste Kohomologie der holomorphen Differentialformen beschreiben kann. Auch in dieser Situation definieren wir das Residuum.

Definition

Es sei ${}X$ einekompakte zusammenhängende riemannsche Flächeund ${}\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.Man nennt

{}\operatorname {Res} _{}\left(\tau \right):=\sum _{P\in X}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)\,

dasResiduum (oder Gesamtresiduum)von ${}\tau$ .

Dabei ist ${}\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right)$ einfach der Koeffizient von ${}f$ zu ${}z^{-1}$ , wenn die Hauptteilverteilung im Punkt ${}P$ durch die meromorphe Differentialform ${}fdz$ mit einem lokalen Parameter ${}z$ um ${}P$ beschrieben wird. Wir zeigen, dass die beiden Definitionen miteinander kompatibel sind.

Lemma

Es sei ${}X$ einekompakte zusammenhängende riemannsche Flächeund ${}\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.

Dann ist

${}\operatorname {Res} _{}\left(\tau \right)=\operatorname {Res} _{}\left(\delta (\tau )\right)\,,$

wobei ${}\delta$ den verbindenden Homomorphismuszur kurzen exakten Garbensequenz ausLemma 18.15bezeichnet.

Beweis

Jede Hauptteilverteilung besitzt endlich viele Trägerpunkte. Da der verbindende Homomorphismus und die Residuenabbildung ${}{\mathbb {C} }$ -linear sind, können wir davon ausgehen, das die Hauptteilverteilung in einem einzigen Punkt ${}P$ konzentriert ist. Die Hauptteilverteilung wird dann durch eine meromorphe Differentialform ${}\tau$ auf einer offenen Kreisscheibenumgebung ${}U$ , wobei ${}\tau$ auf ${}U\setminus \{P\}$ holomorph sei, und durch die Nullform auf ${}V=X\setminus \{P\}$ repräsentiert. Der erste Čech-Kozykelin ${}\Omega _{X}$ , also ${}\delta \tau$ , wird dann durch die holomorphe Differentialform ${}\tau$ auf

{}U\cap V=U\setminus \{P\}\,

repräsentiert. Für diesen gibt es wiederum ${}1$ -Formen ${}\omega _{1}\in \Gamma {\left(U,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ und ${}\omega _{2}\in \Gamma {\left(V,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ mit

{}\tau =\omega _{1}-\omega _{2}\,

auf ${}U\setminus \{P\}$ . Da ${}\tau$ holomorph ist, ist

{}d\tau =0\,

nachSatz 16.15.Somit legen diese ${}1$ -Formen die ${}2$ -Form ${}\sigma \in H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ fest, wobei lokal

{}d\omega _{1}=\sigma =d\omega _{2}\,

gilt. Ferner gilt

{}\delta \tau =\delta \sigma \,

in ${}H^{1}(X,\Omega _{X})$ , wobei die beiden ${}\delta$ verbindende Homomorphismen zu unterschiedlichen Garbensequenzen bezeichnen. Nach der Definition des Residuums für eine holomorphe Kohomologieklasse muss man ${}\sigma$ über der Fläche intergrieren.

Es seien ${}P\in U'\subset U^{\prime \prime }\subset U$ offene Kreisumgebungen(in der Karte)mit unterschiedlichen Radien. Es sei ${}f$ eine reellwertige unendlich oft differenzierbare Funktion auf ${}X$ , die auf ${}U'$ den konstanten Wert ${}1$ und außerhalb von ${}U^{\prime \prime }$ den konstanten Wert ${}0$ besitzt, was es nachSatz 25.3gibt. Wir setzen ${}g:=1-f$ .Die Form ${}g\omega _{2}$ ist auf ${}V$ definiert, da sie aber auf ${}U'$ den Wert ${}0$ hat, kann man sie zu einer globalen Form aus ${}{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}$ fortsetzen. Ferner besitzt ${}f\omega _{2}$ auf ${}U'\setminus \{P\}$ die Eigenschaft

{}d(f\omega _{2})=d\omega _{2}=d{\left(\omega _{1}-\tau \right)}=d\omega _{1}\,,

da ${}\tau$ holomorph ist. Dies sichert, dass man die Form ${}d(f\omega _{2})$ als globale Form auffassen kann. Insgesamt gilt

{}\sigma =dg\omega _{2}+df\omega _{2}\,,

wobei dies auf ${}V$ unmittelbar wegen ${}g+f=1$ gilt und auf ${}U'$ ebenso aufgrund der konstruierten Fortsetzungen. Nachdem Satz von Stokes (ohne Rand)ist

{}\int _{X}d(g\omega _{2})=0\,.

Also ist unter Verwendungdes Satzes von Stokes (mit Rand)

{}{\begin{aligned}\operatorname {Res} _{}\left(\delta (\tau )\right)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}dg\omega _{2}+df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}d{\left(f\omega _{1}-f\tau \right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f\omega _{1}-f\tau \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }-f\tau \\&=\operatorname {Res} _{P}\left(f\tau \right)\\&=\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right),\end{aligned}}

wobei ${}\gamma$ eine einfache Umrundung mit dem Uhrzeigersinn von ${}P$ in ${}U\setminus U^{\prime \prime }$ ist und worauf ${}f\omega _{1}$ gleich ${}0$ ist.

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