Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 24

Es seien${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {N} }$mit ${\displaystyle {}m}$ gerade und ${\displaystyle {}n}$ ungerade. Zeige, dass die Potenzen${\displaystyle {}t^{m}}$ und ${\displaystyle {}t^{n}}$in ${\displaystyle {}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})}$ orthogonalzueinander sind.

Zeige, dass das ${\displaystyle {}n}$-teLegendre-Polynom${\displaystyle {}P_{n}}$ den Leitkoeffizienten

${\displaystyle {\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}}$

besitzt.

Zeige, dass das ${\displaystyle {}n}$-teLegendre-Polynom${\displaystyle {}P_{n}}$ bei ${\displaystyle {}n}$ gerade eine gerade Funktionund bei ${\displaystyle {}n}$ ungerade eineungerade Funktionist.

Zeige, dass dieLegendre-Polynomedie Rekursionsbedingungen${\displaystyle {}P_{0}=1}$,${\displaystyle {}P_{1}=t}$und

${\displaystyle {}(n+1)P_{n+1}(t)=(2n+1)tP_{n}(t)-nP_{n-1}(t)\,}$

für${\displaystyle {}n\geq 1}$erfüllen.

Bestimme dieFourierentwicklungderLegendre-Polynome${\displaystyle {}P_{0},P_{1},P_{2}}$. Überprüfe die Orthogonalitäsrelationen für die Fourierreihen.

Bestimme ein lineares Polynom${\displaystyle {}ax+b\neq 0}$,das im Lebesgueraum${\displaystyle {}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})}$ senkrecht auf der Exponentialfunktion ${\displaystyle {}e^{x}}$ steht.

Zeige, dass das ${\displaystyle {}n}$-teTschebyschow-Polynomauf ${\displaystyle {}[-1,1]}$ die Identität

${\displaystyle {}T_{n}(x)={\frac {{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}+{\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}}{2}}\,}$

erfüllt.

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${\displaystyle {}[0,2\pi ]}$.

1. ${\displaystyle {}\cos x}$.
2. ${\displaystyle {}\cos 2x}$.
3. ${\displaystyle {}\cos ^{2}x}$.
4. ${\displaystyle {}2\cos ^{2}x-1}$.

Zeige, dass das ${\displaystyle {}n}$-teTschebyschow-Polynom${\displaystyle {}P_{n}}$ bei ${\displaystyle {}n}$ gerade eine gerade Funktionund bei ${\displaystyle {}n}$ ungerade eineungerade Funktionist.

Zeige, dass das ${\displaystyle {}n}$-teTschebyschow-Polynom${\displaystyle {}T_{n}}$ die Tschebyschowsche Differentialgleichung

${\displaystyle {}(1-t^{2})y^{\prime \prime }-ty'+n^{2}y=0\,}$

löst.

Zeige, dass die von ${\displaystyle {}\cos z}$ erzeugte${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Unteralgebravon ${\displaystyle {}C({\mathbb {C} },{\mathbb {C} })}$ mit dem von den ${\displaystyle {}\cos nz}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,erzeugten Untervektorraumübereinstimmt.

Es sei${\displaystyle {}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$eine stetige Funktionund sei${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}$ein Polynommit

${\displaystyle {}P(f(t))=0\,}$

für alle${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$.Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ eine konstante Funktion ist oder dass ${\displaystyle {}P}$ das Nullpolynom ist.

Führe für die Potenzen ${\displaystyle {}t^{0},t^{1},t^{2},t^{3}}$ dasSchmidtsche Orthonormalisierungsverfahrenin ${\displaystyle {}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})}$ durch.

Wir betrachten die Exponentialfunktion ${\displaystyle {}e^{x}}$ in ${\displaystyle {}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})}$. Es sei${\displaystyle {}U\subseteq L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})}$dasorthogonale Komplementder Exponentialfunktion und es sei${\displaystyle {}V\subseteq L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})}$der Raum aller Polynome vom Grad ${\displaystyle {}\leq 3}$. Bestimme eineBasisvon ${\displaystyle {}U\cap V}$.

Zeige, dass das ${\displaystyle {}n}$-teTschebyschow-Polynomauf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$ die Identität

${\displaystyle {}T_{n}{\left({\frac {z+z^{-1}}{2}}\right)}={\frac {z^{n}+z^{-n}}{2}}\,}$

erfüllt.

Es sei${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[X,Y]}$einPolynommit

${\displaystyle {}P(\cos t,\sin t)=0\,}$

für alle${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$.Zeige

${\displaystyle {}P=Q\cdot (X^{2}+Y^{2}-1)\,}$

für ein Polynom ${\displaystyle {}Q\in {\mathbb {C} }[X,Y]}$.