Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 24

Wir schreiben

${\displaystyle {}f_{n}={\left(t^{2}-1\right)}^{n}\,,}$

es ist also

${\displaystyle {}P_{n}={\frac {f_{n}^{(n)}}{2^{n}(n!)}}\,.}$

Für${\displaystyle {}n\geq m,1}$ergibt sich mit iterierter partieller Integration und da ${\displaystyle {}f_{n}^{(n-k)}}$ für${\displaystyle {}k\geq 1}$den Faktor ${\displaystyle {}t^{2}-1}$ enthält

${\displaystyle {}{\begin{aligned}2^{n}(n!)\left\langle t^{m},P_{n}\right\rangle &=\left\langle t^{m},f_{n}^{(n)}\right\rangle \\&=\int _{-1}^{1}t^{m}f_{n}^{(n)}(t)dt\\&=\left(t^{m}f_{n}^{(n-1)}(t)\right)|_{-1}^{1}-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=(-1)^{2}m(m-1)\int _{-1}^{1}t^{m-2}f_{n}^{(n-2)}(t)dt\\&=\ldots \\&=(-1)^{m}(m!)\int _{-1}^{1}f_{n}^{(n-m)}(t)dt.\end{aligned}}}$

Bei${\displaystyle {}m<n}$ist dies gleich ${\displaystyle {}0}$, da ${\displaystyle {}f_{n}^{(n-m-1)}(t)}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}f_{n}^{(n-m)}(t)}$ ist und den Faktor ${\displaystyle {}(t-1)^{2}}$ enthält. Es liegt also ein Orthogonalsystem vor.

Bei${\displaystyle {}m=n}$ist der Ausdruck nachAufgabe 25.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(-1)^{n}(n!)\int _{-1}^{1}f_{n}(t)dt&=(-1)^{n}(n!)(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&=2\cdot {\frac {2^{n}(n!)^{2}}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}.\end{aligned}}}$

Somit ist insbesondere

${\displaystyle {}\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle =2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,}$

und daher ist unter Verwendung der bewiesenen Orthogonalitätsrelation und vonAufgabe 24.2

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle P_{n},P_{n}\right\rangle &=\left\langle {\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\cdot 2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&={\frac {(2n)!}{2^{n}\cdot (n!)\cdot (2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\cdot {\frac {2}{2n+1}}\\&={\frac {2}{2n+1}}.\end{aligned}}}$

Somit bilden die ${\displaystyle {}{\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}}$ ein Orthonormalsystem. Wegen

${\displaystyle {}\langle t^{0},t^{1},\ldots ,t^{n}\rangle =\langle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle \,}$

und da die Leitkoeffizienten der ${\displaystyle {}P_{n}}$ positiv ist, ergeben sich die normierten Legendre-Polynomen auch beim Orthonormalisierungsverfahren. Die Vollständigkeit ergibt sich ausKorollar 20.12und ausdem Weierstrassschen Approximationssatz.

NachSatz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (1)undSatz 15.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))ist

${\displaystyle \cos \left(nz\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(nz\right)=e^{{\mathrm {i} }nz}={\left(e^{{\mathrm {i} }z}\right)}^{n}={\left(\cos \left(z\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(z\right)\right)}^{n}\,.}$

Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mitSatz 3.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {n}{\ell }}{\mathrm {i} }^{\ell }\sin ^{\ell }z\cos ^{n-\ell }z&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\sin ^{2k}z\cos ^{n-2k}z+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\sin ^{2k+1}z\cos ^{n-2k-1}z\\\end{aligned}}}$

Der Vergleich der Realteile bei ${\displaystyle {}z}$ reell undSatz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (6)ergibt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\cos nz&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}{\left(1-\cos ^{2}z\right)}^{k}\cos ^{n-2k}z\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}z{\left(\cos ^{2}z-1\right)}^{k}\\&=T_{n}(\cos z).\end{aligned}}}$

Als eine Gleichheit für analytische Funktionen gilt sie auch für alle${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Eine doppelte Anwendungdes Additionstheorems für den Kosinusergibt mitSatz 24.4

${\displaystyle {}{\begin{aligned}T_{n+1}(\cos z)&=\cos \left((n+1)z\right)\\&=\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos z\cos \left(nz\right)-\cos(n-1)z\\&=2\cos z\cdot T_{n}(\cos z)-T_{n-1}(\cos \left(z\right))\end{aligned}}}$

für alle${\displaystyle {}z\in [0,\pi ]}$.Daher muss überhaupt die behauptete polynomiale Identität vorliegen.

Wir arbeiten für${\displaystyle {}t\in [-1,1]}$mit der Darstellung

${\displaystyle {}T_{n}(t)=\cos \left(n\arccos t\right)\,,}$

die sich ausSatz 24.4ergibt. Die Aussagen folgen dann ausKorollar 21.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).Dass die Nullstellen einfach sind und dass es auch im Komplexen keine weiteren Nullstellen gibt folgt ausKorollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)),da ${\displaystyle {}T_{n}}$ den Grad ${\displaystyle {}n}$ besitzt. Dass es nicht mehr lokale Extrema geben kann folgt ausSatz 19.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Wir betrachten die normierten Tschebyschow-Polynome

${\displaystyle {}Q_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}\,,}$

die normiert sind und deren Bild von ${\displaystyle {}[-1,1]}$ nachLemma 24.6in ${\displaystyle {}[-{\frac {1}{2^{n-1}}},{\frac {1}{2^{n-1}}}]}$ liegt, wobei die Maxima bzw. Minima in den ${\displaystyle {}n+1}$ Punkten${\displaystyle {}\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right)}$ mit ${\displaystyle {}k=0,\ldots ,n}$abwechselnd angenommen werden. Nehmen wir an, es gebe ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}P(t)}$, dessen Betrag auf ${\displaystyle {}[-1,1]}$ überall echt kleiner als ${\displaystyle {}{\frac {1}{2^{n-1}}}}$ ist. Wir betrachten das Differenzpolynom${\displaystyle {}D(t)=Q(t)-P(t)}$.Dieses Polynom hat an den Stellen, wo ${\displaystyle {}Q(t)}$ den maximalen Wert ${\displaystyle {}{\frac {1}{2^{n-1}}}}$ annimmt, einen positiven Wert, und an den Stellen, wo ${\displaystyle {}Q(t)}$ den minimalen Wert ${\displaystyle {}-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$ annimmt, einen negativen Wert. Da die Extrema von ${\displaystyle {}Q}$ sich abwechseln, besitzt ${\displaystyle {}D}$ zumindest ${\displaystyle {}n}$ Vorzeichenwechsel und somit nachdem Zwischenwertsatzzumindest ${\displaystyle {}n}$ Nullstellen. Da aber ${\displaystyle {}D}$ die Differenz von zwei normierten Polynomen vom Grad ${\displaystyle {}n}$ ist, besitzt ${\displaystyle {}D}$ höchstens den Grad ${\displaystyle {}n-1}$ und kann nachKorollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))höchstens ${\displaystyle {}n-1}$ Nullstellen besitzen.

Es ist

${\displaystyle {}\left\langle T_{n},T_{m}\right\rangle =\int _{-1}^{1}T_{n}(t)T_{m}(t){\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt\,.}$

Mit der Substitution(vergleicheLemma 27.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)))${\displaystyle {}t=\cos z}$kann man dies unter Verwendung vonSatz 24.4überführen in

${\displaystyle {}\int _{0}^{\pi }T_{n}(\cos z)T_{m}(\cos z)dz=\int _{0}^{\pi }\cos \left(nz\right)\cos \left(mz\right)dz\,.}$

Mitdem Additionstheorem für den Kosinusin der Form${\displaystyle {}\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right)=2\cos x\cos y}$kann man dies als

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n+m)z\right)dz+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n-m)z\right)dz.}$

schreiben. Beide Integral sind gleich ${\displaystyle {}0}$, außer bei${\displaystyle {}n=m}$,in diesem Fall ist bei${\displaystyle {}n\geq 1}$ das Ergebnis ${\displaystyle {}\pi /2}$ und bei${\displaystyle {}n=0}$gleich ${\displaystyle {}\pi }$. Die Vollständigkeit ergibt sich ausdem Weierstrassschen Approximationssatzund ausKorollar 20.10.