Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 21

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}}$

${\displaystyle {}s_{k}\neq 0}$

${\displaystyle {}v_{k}}$

${\displaystyle v_{k}={\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}}$

schreiben. Es sei nun ${\displaystyle {}u\in V}$ beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}u&=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}v_{k}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}{\left({\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\right)}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}+{\frac {t_{k}}{s_{k}}}w+\sum _{i=k+1}^{n}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}.\end{aligned}}}$

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung ${\displaystyle {}k=1}$ an. Es sei

${\displaystyle t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0}$

${\displaystyle {}0=t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}{\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}s_{1}v_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(t_{1}s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\,.}$

${\displaystyle {}t_{1}s_{1}=0}$

${\displaystyle {}s_{1}\neq 0}$

${\displaystyle {}t_{1}=0}$

${\displaystyle {}\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0}$

${\displaystyle {}t_{i}=0}$

${\displaystyle {}i}$

Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}k}$, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei ${\displaystyle {}k=0}$ ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für ${\displaystyle {}k}$ schon bewiesen und seien ${\displaystyle {}k+1}$ linear unabhängige Vektoren

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1}}$

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k}}$

gibt es eine Teilmenge${\displaystyle {}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ derart, dass die Familie

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,}$

eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ ist. Wir wollen auf diese Basisdas Austauschlemmaanwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man

${\displaystyle {}u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u_{j}+\sum _{i\in I\setminus J}d_{i}b_{i}\,}$

schreiben. Wären hierbei alle Koeffizienten ${\displaystyle {}d_{i}=0}$,  so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der${\displaystyle {}u_{j}}$, ${\displaystyle {}j=1,\ldots ,k+1}$.Es gibt also ein ${\displaystyle {}i\in I\setminus J}$ mit ${\displaystyle {}d_{i}\neq 0}$. Wir setzen ${\displaystyle {}i_{k+1}:=i}$. Damit ist ${\displaystyle {}J'=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i_{k+1}\}}$ eine ${\displaystyle {}(k+1)}$-elementige Teilmenge von ${\displaystyle {}{\{1,\ldots ,n\}}}$. Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor${\displaystyle {}b_{i_{k+1}}}$ durch ${\displaystyle {}u_{k+1}}$ersetzen und erhält die neue Basis

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},b_{i},i\in I\setminus J'.}$

${\displaystyle {}k}$

${\displaystyle {}n}$

Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}}$ zwei Basen von ${\displaystyle {}V}$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes,angewandt auf die Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$ und die linear unabhängige Familie ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}}$ ergibt sich ${\displaystyle {}k\leq n}$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt ${\displaystyle {}n\leq k}$, also insgesamt ${\displaystyle {}n=k}$.

Die Standardbasis${\displaystyle {}e_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, besteht aus ${\displaystyle {}n}$ Vektoren, also ist die Dimension ${\displaystyle {}n}$.

Sei${\displaystyle {}n=\dim _{K}{\left(V\right)}}$.Jede linear unabhängige Familie in ${\displaystyle {}U}$ ist auch linear unabhängig in ${\displaystyle {}V}$. Daher kann es aufgrund des Basisaustauschsatzesin ${\displaystyle {}U}$ nur linear unabhängige Familien der Länge ${\displaystyle {}\leq n}$ geben. Es sei${\displaystyle {}k\leq n}$derart, dass es in ${\displaystyle {}U}$ eine linear unabhängige Familie mit ${\displaystyle {}k}$ Vektoren gibt, aber nicht mit ${\displaystyle {}k+1}$ Vektoren. Sei${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}}$eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in ${\displaystyle {}U}$ und daher wegenSatz 20.12eine Basis von ${\displaystyle {}U}$.

Es sei ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ eineBasis von ${\displaystyle {}V}$. Aufgrund des Austauschsatzesfindet man ${\displaystyle {}n-k}$ Vektoren aus der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$, die zusammen mit den vorgegebenen ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{k}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ bilden.