Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 2

Angenommen, wir haben eine Zerlegung${\displaystyle {}p=ab}$.Wegen der Primeigenschaft teilt ${\displaystyle {}p}$ einen Faktor, sagen wir${\displaystyle {}a=ps}$.Dann ist${\displaystyle {}p=psb}$bzw.${\displaystyle {}p(1-sb)=0}$.Da ${\displaystyle {}p}$ kein Nullteiler ist, folgt${\displaystyle {}1=sb}$,so dass also ${\displaystyle {}b}$ eine Einheitist.

Zunächst ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ einIntegritätsbereich.Es sei${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {Z} }$einIdeal.Damit ist ${\displaystyle {}I}$ insbesondere eine(additive)Untergruppevon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und hat nachSatz 44.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))die Gestalt${\displaystyle {}I=\mathbb {Z} d}$.Damit handelt es sich um ein Hauptideal.

Es sei ${\displaystyle {}I}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Idealin ${\displaystyle {}K[X]}$. Betrachte die nichtleere Menge

${\displaystyle {\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.}$

Diese Menge hat ein Minimum${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} }$,das von einem Element${\displaystyle {}F\in I}$, ${\displaystyle {}F\neq 0}$,herrührt, sagen wir${\displaystyle {}m=\operatorname {grad} \,(F)}$.Wir behaupten, dass${\displaystyle {}I=(F)}$ist. Die Inklusion ${\displaystyle {}\supseteq }$ ist klar. Zum Beweis von ${\displaystyle {}\subseteq }$ sei${\displaystyle {}P\in I}$ gegeben. Aufgrundvon Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))gilt

${\displaystyle P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.}$

Wegen${\displaystyle {}R\in I}$ und der Minimalität von ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(F)}$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist${\displaystyle {}R=0}$und ${\displaystyle {}P}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}F}$.

Angenommen, jede Zerlegung${\displaystyle {}a=p_{1}\cdots p_{k}}$enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette ${\displaystyle {}a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots }$, wobei ${\displaystyle {}a_{n+1}}$ ein nicht-trivialer Teiler von ${\displaystyle {}a_{n}}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

${\displaystyle {}(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.}$

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nachAufgabe 2.13ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

Wir betrachten das von${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$erzeugte Ideal${\displaystyle {}I=(a,b)}$.Da ${\displaystyle {}R}$ einHauptidealbereichist, gibt es ein ${\displaystyle {}c\in R}$ mit${\displaystyle {}(a,b)=(c)}$.Daher ist ${\displaystyle {}c}$ ein Teilervon ${\displaystyle {}a}$ und von ${\displaystyle {}b}$. Die Teilerfremdheit impliziert, dass ${\displaystyle {}c}$ eine Einheitist. Wegen ${\displaystyle {}c\in (a,b)}$ gibt es eine Darstellung${\displaystyle {}c=ua+vb}$.Multiplikation mit ${\displaystyle {}c^{-1}}$ ergibt die Darstellung der ${\displaystyle {}1}$.

Da${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$teilerfremd sind, gibt es nachdem Lemma von BezoutElemente ${\displaystyle {}r,s\in R}$mit${\displaystyle {}ra+sb=1}$. Die Voraussetzung, dass ${\displaystyle {}a}$ das Produkt ${\displaystyle {}bc}$ teilt, schreiben wir als${\displaystyle {}bc=da}$.Damit gilt

${\displaystyle {}c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,}$

was zeigt, dass ${\displaystyle {}c}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}a}$ ist.

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nachLemma 2.6stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt ${\displaystyle {}p}$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}p}$ das Produkt ${\displaystyle {}ab}$ teilt, sagen wir${\displaystyle {}pc=ab}$. Nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}a}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist. Dann sind aber ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}p}$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette ${\displaystyle {}(p)\subset (p,a)=(d)\subset R}$der Irreduzibilität von ${\displaystyle {}p}$ widerspricht. Damit teilt ${\displaystyle {}p}$ nachdem Lemma von Euklidden anderen Faktor ${\displaystyle {}b}$.

${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$. Sei${\displaystyle {}f\neq 0}$eine Nichteinheit. Die Faktorisierung in Primelemente ist insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente, so dass also lediglich die Eindeutigkeit zu zeigen ist.Dies geschieht durch Induktion über die minimale Anzahl der Primelemente in einer Faktorzerlegung. Wenn es eine Darstellung${\displaystyle {}f=p}$mit einem Primelement gibt, und${\displaystyle {}f=q_{1}{\cdots }q_{r}}$eine weitere Zerlegung in irreduzible Faktoren ist, so teilt ${\displaystyle {}p}$ einen der Faktoren ${\displaystyle {}q_{i}}$ und nach Kürzen durch ${\displaystyle {}p}$ erhält man, dass das Produkt der übrigen Faktoren rechts eine Einheit sein muss. Das bedeutet aber, dass es keine weiteren Faktoren geben kann. Es sei nun${\displaystyle {}f=p_{1}{\cdots }p_{s}}$und diese Aussage sei für Elemente mit kleineren Faktorisierungen in Primelemente bereits bewiesen. Es sei

${\displaystyle {}f=p_{1}{\cdots }p_{s}=q_{1}{\cdots }q_{r}\,}$

eine weitere Zerlegung mit irreduziblen Elementen. Dann teilt wieder ${\displaystyle {}p_{1}}$ einen der Faktoren rechts, sagen wir${\displaystyle {}p_{1}u=q_{1}}$.Dann muss ${\displaystyle {}u}$ eine Einheit sein und wir können durch ${\displaystyle {}p_{1}}$ kürzen, wobei wir ${\displaystyle {}u^{-1}}$ mit ${\displaystyle {}q_{2}}$ verarbeiten können, was ein zu ${\displaystyle {}q_{2}}$ assoziiertes Element ergibt. Das gekürzte Element ${\displaystyle {}p_{2}\cdots p_{s}}$ hat eine Faktorzerlegung mit ${\displaystyle {}s-1}$ Primelementen, so dass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (3)}$. Wir müssen zeigen, dass ein irreduzibles Element auch prim ist. Es sei also ${\displaystyle {}q}$ irreduzibel und es teile das Produkt ${\displaystyle {}fg}$, sagen wir

${\displaystyle {}qh=fg\,.}$

Für ${\displaystyle {}h,\,f}$ und ${\displaystyle {}g}$gibt es Faktorzerlegungen in irreduzible Elemente, so dass sich insgesamt die Gleichung

${\displaystyle {}qh_{1}{\cdots }h_{r}=f_{1}{\cdots }f_{s}g_{1}{\cdots }g_{t}\,}$

ergibt. Es liegen also zwei Zerlegungen in irreduzible Element vor, die nach Voraussetzung im Wesentlichen übereinstimmen müssen. D.h. insbesondere, dass es auf der rechten Seite einen Faktor gibt, sagen wir ${\displaystyle {}f_{1}}$, der assoziiert zu ${\displaystyle {}q}$ ist. Dann teilt ${\displaystyle {}q}$ auch den ursprünglichen Faktor ${\displaystyle {}f}$.
${\displaystyle {}(3)\Rightarrow (1)}$. Das ist trivial.

Dies folgt sofort ausKorollar 2.16,Lemma 2.13 undSatz 2.18.

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist${\displaystyle {}s_{i}-r_{i}\geq 0}$und man kann

${\displaystyle {}b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,}$

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Ring.