Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 2

Zwei Elemente ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ eineskommutativen Ringes${\displaystyle {}R}$ heißen assoziiert, wenn es eineEinheit${\displaystyle {}u\in R}$derart gibt, dass${\displaystyle {}a=ub}$ist.

Zeige, dass die Assoziiertheitin einem kommutativen Ringeine Äquivalenzrelationist.

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$:

1. Für jedes Element ${\displaystyle {}a}$ gilt ${\displaystyle {}1|a}$ und ${\displaystyle {}a|a}$.
2. Für jedes Element ${\displaystyle {}a}$ gilt ${\displaystyle {}a|0}$.
3. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}b|c}$, so gilt auch ${\displaystyle {}a|c}$.
4. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}c|d}$, so gilt auch ${\displaystyle {}ac|bd}$.
5. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$, so gilt auch ${\displaystyle {}ac|bc}$ für jedes ${\displaystyle {}c\in R}$.
6. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}a|c}$, so gilt auch ${\displaystyle {}a|rb+sc}$ für beliebige Elemente ${\displaystyle {}r,s\in R}$.

Zeige, dass in einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. Sind ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ assoziiert,so gilt ${\displaystyle {}a|c}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}b|c}$.
2. Ist ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich,so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Zeige, dass in einem kommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. ${\displaystyle {}-1}$ ist eine Einheit,die zu sich selbst invers ist.
2. Jede Einheit teilt jedes Element.
3. Sind ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ assoziiert, so gilt ${\displaystyle {}a|c}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}b|c}$.
4. Teilt ${\displaystyle {}a}$ eine Einheit, so ist ${\displaystyle {}a}$ selbst eine Einheit.

Zeige, dass einUnterringeinesKörperseinIntegritätsbereichist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring und seien ${\displaystyle {}f,g}$Nichtnullteilerin ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass das Produkt ${\displaystyle {}fg}$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem Integritätsbereich„kürzen“ kann? Beweise diese Eigenschaft.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${\displaystyle {}f\in R}$ sei

${\displaystyle \mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,}$

die Multiplikation mit ${\displaystyle {}f}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu _{f}}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring und${\displaystyle {}f\in R}$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,}$

wann ${\displaystyle {}f}$ ein Nichtnullteilerund wann ${\displaystyle {}f}$ eine Einheitist.

Zeige, dass${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} }$eineUntergruppe,aber keinIdealist.

Zeige, dass ein kommutativer Ringgenau dann ein Körperist, wenn er genau zwei Idealeenthält.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}f_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, eine Familie von Elementen in ${\displaystyle {}R}$. Es sei angenommen, dass die ${\displaystyle {}f_{j}}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie ${\displaystyle {}f_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J_{0}\subseteq J}$ gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund sei

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots }$

eine aufsteigende Kette von Idealen.Zeige, dass die Vereinigung${\displaystyle {}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einIntegritätsbereichund${\displaystyle {}p\in R}$, ${\displaystyle {}p\neq 0}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ genau dann irreduzibelist, wenn es genau zwei Hauptidealeoberhalb von ${\displaystyle {}(p)}$ gibt, nämlich ${\displaystyle {}(p)}$ selbst und ${\displaystyle {}(1)=R}$.

Zeige, dass imPolynomring${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ die Variable ${\displaystyle {}X}$ irreduzibelundprimist.

Bestimme im Polynomring${\displaystyle {}K[X]}$, wobei ${\displaystyle {}K}$ ein Körpersei, dieEinheitenund dieAssoziiertheit.Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?

Beweise die Formel

${\displaystyle {}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,}$

für ${\displaystyle {}u}$ ungerade.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass ein Polynom vomGradzwei oder drei genau dannirreduzibelist, wenn es keine Nullstelle in ${\displaystyle {}K}$ besitzt.

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${\displaystyle {}X^{6}-1}$ über den Körpern${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)}$und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$.

Man wende eine Form desEisensteinkriteriumsan, um dieIrreduzibilitätder folgenden Polynome aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ nachzuweisen.

1. ${\displaystyle {}X^{4}+2X^{2}+2}$,
2. ${\displaystyle {}20X^{5}-15X^{4}+125X^{3}-10X+4}$,
3. ${\displaystyle {}X^{4}+9}$.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}F_{2}[X]}$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}2,3,4}$.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}F_{3}[X]}$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}3}$.

Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ einirreduzibles Polynomvom Grad ${\displaystyle {}3}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Zeige, dass das Polynom

${\displaystyle X^{3}-3X+1}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ irreduzibelist.

Zeige, dass das Polynom

${\displaystyle X^{3}-3X-1}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ irreduzibelist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren)eindeutige Produktdarstellung

${\displaystyle F=aF_{1}\cdots F_{r}}$

mit ${\displaystyle {}a\in K^{\times }}$ undirreduziblennormierten Polynomen${\displaystyle {}F_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,r}$,gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${\displaystyle {}T}$ einTeilervon ${\displaystyle {}P}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}T}$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${\displaystyle {}X-a}$ in ${\displaystyle {}T}$ durch seine Vielfachheit in ${\displaystyle {}P}$ beschränkt ist.

1. Es sei ${\displaystyle {}F}$ ein normiertes Polynom aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ und es gebe eine Primzahl ${\displaystyle {}q}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}F}$ modulo ${\displaystyle {}q}$, also aufgefasst in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)[X]}$, irreduzibelsei. Zeige, dass dann schon ${\displaystyle {}F}$ irreduzibel ist.
2. Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
3. Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}G\in \mathbb {Z} /(p)[X]}$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} [X]}$ gibt, das modulo ${\displaystyle {}p}$ mit ${\displaystyle {}G}$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.

Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ und der Polynomring in zwei Variablen ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ keine Hauptidealbereiche sind.

Zeige, dass in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ dieIdeale${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\left(X^{6}+X^{3}+1,6X^{5}+3X^{2}\right)}}$ und${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}={\left(X^{6}+X^{3}+1,3X^{3}-3,9\right)}}$ übereinstimmen. Bestimme die Anzahl der Elemente imRestklassenring.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}p\in R}$ einPrimelement.Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ auch im Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ prim ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einalgebraisch abgeschlossener Körper.Bestimme in ${\displaystyle {}K[X]}$ dieirreduziblen Polynome.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduziblePolynome in ${\displaystyle {}K[X]}$ gibt.

Es sei${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}$ einnichtkonstantesPolynommit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man ${\displaystyle {}P}$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad${\displaystyle {}1}$ oder ${\displaystyle {}2}$schreiben kann.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Körpererweiterung und es sei ${\displaystyle {}a\in L}$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

${\displaystyle \psi \colon K[X]\longrightarrow L,\,P\longmapsto P(a),}$

folgende Eigenschaften erfüllt(dabei seien ${\displaystyle P,Q\in K[X]}$).

1. ${\displaystyle {}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)}$,
2. ${\displaystyle {}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)}$,
3. ${\displaystyle {}1(a)=1}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$einEndomorphismusauf einem endlichdimensionalen${\displaystyle {}K}$-Vektorraumund

${\displaystyle K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(\varphi ),}$

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Vergleiche diese Situation mit dem durch ein Element ${\displaystyle {}a\in L}$ zu einer Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L}$gegebenen Einsetzungshomomorphismus ${\displaystyle {}P\mapsto P(a)}$.

Zu zweiIdealen${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$ in einemkommutativen Ringwird dasProduktdurch

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{i}\in {\mathfrak {a}}}$, ${\displaystyle {}b_{i}\in {\mathfrak {b}}}$ definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten ${\displaystyle {}ab}$(mit ${\displaystyle {}a\in {\mathfrak {a}}}$, ${\displaystyle {}b\in {\mathfrak {b}}}$)erzeugt wird.

Zeige, dass dasProduktvonHauptidealenwieder ein Hauptideal ist.

Es seien${\displaystyle {}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R}$Idealein einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die Beziehung

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ einIdealin einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die Potenzen${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{n},\,n\in \mathbb {N} _{+}}$, alle dasselbeRadikalbesitzen.

Es seien${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}J}$Idealein einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ und sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Zeige die Gleichheit

${\displaystyle {}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.}$