韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於,能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。
内容
证明
因為 是一元 n 次多項式 的 n 个根。於是有
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根據乘法原理展開右式,比較等號兩邊的各項係數可得
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上式等同於韋達定理的敘述。
特例
n=2
设 是一元二次多項式 的两根,則由 有
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這個特殊情況除之前提到的证明方法,也可以直接用求根公式即 , 證明:
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在這個情況下,韦达定理的逆定理同样成立:給定一個一元二次多項式 ,如果有两个数 ,滿足 和 ,則 就是多項式 的兩根。
n=3
设 是一元三次多項式 的三根,則
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歷史
在 16 世紀,韋達發現了所有根都是正整數的版本,至於一般的版本 (根是實數),可能首次由法國數學家 Albert Girard 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家查爾斯·赫頓的話寫道
...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。
參考資料
- Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273
- Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4
- Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6
参见
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