虚数: 复数可写成实数乘以虚单位

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle i^{-3}=i}$

${\displaystyle i^{-2}=-1}$

${\displaystyle i^{-1}=-i}$

${\displaystyle i^{0}=1}$

${\displaystyle i^{1}=i}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle i^{3}=-i}$

${\displaystyle i^{4}=1}$

${\displaystyle i^{5}=i}$

${\displaystyle i^{6}=-1}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\pmod {4}}}}$

虛數是指可以写作实数与虚数单位${\displaystyle i}$乘积的複數 ，並定義其性質為${\displaystyle i^{2}=-1}$，以此定義，0可視為同時是實數也是虛數。

17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》（法語：La Géométrie）一書中，命名其為nombre imaginaire（虛構的數），成為了虛數（imaginary number）一詞的由來。

後來在歐拉和高斯的研究之後，發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複數平面上每一點對應着一個複數。

 

在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的“正”虛數，然後向上增加；而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”，並被表示為${\displaystyle i\mathbb {R} }$ ，Im，${\displaystyle \mathbb {I} }$ ，或${\displaystyle \Im }$ 。

在該呈現圖示中，乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。${\displaystyle i}$ 的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉，而方程式${\displaystyle i^{2}=-1}$ 可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了${\displaystyle -i}$ 也解出了方程${\displaystyle x^{2}=-1}$ 。一般來說，乘以複數與以複數辐角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

我們應該將根號視為求${\displaystyle x^{2}}$ 的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 實際上代表的是兩個數，分別為${\displaystyle +i}$ 及${\displaystyle -i}$ 。但若直接將${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 對應到${\displaystyle +i}$ ，而${\displaystyle -{\sqrt {-1}}}$ 對應到${\displaystyle -i}$ 也未嘗不可。

1. 不同的虛數都是不能比較大小的：${\displaystyle 1<2\,}$ 成立，但${\displaystyle 1+i<2+i\,}$ 和${\displaystyle i<2i\,}$ 卻均不成立。

舉例說明：（反證法）

假設${\displaystyle i>0\,}$ 

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$ 

得${\displaystyle -1>0\,}$ 即可看出矛盾。

再舉例：假設${\displaystyle i<0\,}$ 

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$ （不等式兩側同乘假設為負的${\displaystyle i}$ ，不等式由小於變為大於）

得${\displaystyle -1>0\,}$ 即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲${\displaystyle i^{0}=1\,}$ ，${\displaystyle i^{1}=i\,}$ ，${\displaystyle i^{2}=-1\,}$ ，${\displaystyle i^{3}=-i\,}$ ，${\displaystyle i^{4}=1\,}$ ，${\displaystyle \cdots }$ ，很容易知道${\displaystyle i^{n}\,}$ （${\displaystyle n\in \mathbb {N} \,}$ ）是關於指數${\displaystyle n\,}$ 的週期函數，最小正週期是${\displaystyle 4\,}$ 。於是，我們有

${\displaystyle i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,}$ 

這表示${\displaystyle i\,}$ 為方程${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0\,}$ 的一個根，另三個根分別為${\displaystyle -i,-1\,}$ 及${\displaystyle 0\,}$ 。

另外可以證明

${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}$ 

和

${\displaystyle {\overline {\omega }}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}$ 

爲下列方程的根

${\displaystyle x^{2}+x+1=0\,}$ 
${\displaystyle x^{3}=1\,}$ 

其中，${\displaystyle {\overline {\omega }}\,}$ 稱爲${\displaystyle \omega \,}$ 的共軛虛數（或共軛複數）。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

• 虛數單位
• 複數
• 四元數
• 八元數

• 虛數i的介紹
• ${\displaystyle i^{7321}\,}$ 的計算方法舉例
• i作為-1的平方根^{[永久失效連結]}