數學證明sou3 hok6 zing3 ming4(英文:mathematical proof),通常就噉簡稱做「證明」,係數學家研究數學嘅一種工具,數學上嘅證明。
喺數學證明嘅過程入面,數學家會先諗出一柞公理(axiom)-一啲佢哋認為好明顯係真,唔使證明都可以攞嚟用嘅命題,或者係用一啲之前已經證明咗嘅命題(即係所謂嘅定理;theorem)。然後佢哋會靠住用呢啲公理同定理,再用一啲數學證明嘅方法推斷出一啲實啱(always true)嘅新命題,而呢啲新推出嚟嘅命題會俾好多數學家攞嚟詏,如果詏完一輪之後啲數學家覺得個證明冇問題嘅話,條新命題就會變成一條新嘅定理。呢啲新定理又有得攞去用嚟證明新啲嘅定理-於是乎數學知識就係噉增長。
如果一條命題要俾數學界接受係定理,佢就要有個令人滿意嘅證明,如果佢衹係有人覺得可能係啱但係冇俾人成功證明到嘅話,佢衹會係個猜想(conjecture)。
大體上,數學嘅證明有得分做兩種:
研究證明嘅形式同方法嘅理論喺學術上俾人嗌做證明論(Proof theory)。
直接證明(Direct proof)係指直接由啲大家都認為係唔使證明都可以當係啱嘅公理或者係之前俾人證明咗嘅定理嗰度出發,運用推理(Deductive reasoning)去推想證明嗰條定理出嚟,係最簡單直接嘅證明方法。基本上,個思路就係:
要求:證明「任何兩個雙數 同 加埋一齊,出嘅一定會係一個雙數」。
證明
喺成個證明過程入面,個證明者淨係用咗一條公理,跟手就推咗條新定埋出嚟-係一個直接證明。
數學歸納法(Proof by mathematical induction)專係用嚟證明一啲有良序性嘅定理。佢成個諗頭係在於要先證明以下兩樣嘢:
假如以上兩點成立到嘅話,噉就有得話「當 嘅時候, 呢個命題會係啱」,而「當 嘅時候, 呢個命題都會係啱」,如此類推,命題 對應所有嘅自然數(Natural number;平時用嚟數嘢嘅數字)都係啱嘅(For all natural number , is true)。
要求:證明「如果 係非零整數,噉對應所有正整數 , 係正數。」(想要證明嘅命題 )
證明
否定證明(Proof by negation,又或者 Proof by contraposition)係一種利用換質換位(Contraposition)邏輯嚟去證明一啲定理嘅證明方法。「換質換位」指嘅簡單啲講係話「 」同「 」呢兩句嘢喺邏輯上係有關嘅:如果「 暗示(Imply) 」係啱嘅,噉如果 唔係真,噉 都唔會係真。例如係以下呢個論證:
如果將 同 換做某啲數學命題,噉呢種思考方式就有得攞嚟做數學證明。
要求:證明「有個整數 ,如果 係雙數,噉 都一定係雙數。」
證明
反證法(Proof by contradiction)係一種古老嘅證明方法,利用咗「如果呢條命題成立,會有個唔合理嘅結果,所以呢條命題冇可能係啱嘅」呢點嚟證明某啲命題係錯嘅。佢條思路係:
要求:證明「假設 係一個單數,噉 唔會係一個雙數」。
證明
構造法(Proof by construction)一般係用嚟證明一啲存在性定理(Existence theorem;一啲話某啲嘢存在嘅定理)-用呢個證明嗰陣,用嗰個人會諗出一件有得用數學描述嘅物件出嚟,列出佢有啲乜嘢特性,再證明一件有呢啲數學物性嘅物件係存在嘅。佢條思路係噉嘅:
要求:證明「唔係所有單數都係質數」(即係話「喺至少一個個案入面,有個單數唔係質數」)。
證明
分類證明(Proof by exhaustion,或者 Proof by cases)係一種用嚟證明啲淨係描述緊數量有限嘅個案度嘅定理嘅一種證明方法。佢嘅過程係要先列出所有個案,再顯示喺所有個案入面,條命題都係成立嘅。條思路如下:
要求:證明「任何整數 , 係一個單數。」
如果 係雙數
如果 係單數
因為整數一係單數一係雙數,而喺以上兩個個案入面 都係一個單數,所以「任何整數 , 係一個單數。」呢句命題成立。
直至廿世紀為止,學界一般都仲係覺得原則上任何嘅數學證明都可以由能力夠高嘅數學家嚟幫手肯定佢嘅有效性(Validity),但係家吓數學界成日都會用電腦輔助證明(Computer-assisted proof)-即係用電腦幫手證明一啲定理,又或者用電腦做一啲長得滯搞到用人手計唔到嘅運算,例如四色定理(Four-color theorem)嘅第一個證明就係由電腦輔助做嘅。初頭有唔少數學家擔心用電腦幫手會搞到啲證明有可能出錯,質疑電腦輔助證明嘅有效性。現時嘅數學家會用好多方法令到電腦輔助證明令人更加有信心,好似係重複噉檢查同埋用多個唔同程式做證明呀噉,而事實係,就算用人手做數學證明都係有可能出錯嘅。所以喺廿一世紀,數學界一般都唔抗拒用電腦幫手做數學證明。
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