開集

度量空間之開集者，開球之並也。開球者，無邊之球也，故開集為無邊之集。

取一物（x）作心，取一正數（r）為半徑，凡與物相去小於半徑者，聚以成集，曰開球（「${\displaystyle B(x;r)=\left\{y|d(x,y)$ 」）。開球之並，曰開集。

或曰：開集（A）者，取任一點，必有以此點為心之開球，含于本集之內（「${\displaystyle (\forall x\in A)\exists rB(x,r)\subseteq A}$ 」）

開集之補集，曰閉集。

• 度量空間，開集也，半徑一之開球之並也。（「${\displaystyle A=\cup _{x\in A}B(x,1)}$ 」）
• 開球必開集也。
• 空集，開集也。
• 開集之並，開集也。
• 若干開集之交，開集也。
• 開集去閉集，開集也。

• 數線為度量空間，大于二而小于三之開區間（「(2,3)」），開集也。
• 數線為度量空間，小于二或大于三之者，聚以成集（「(-∞,2) ∪ (3,∞)」），開集也。
• 數線為度量空間，大于二而不大于三之半閉區間（「(2,3]」）非開集也。蓋以三為心之開球必不含于內。
• 不大于三之數為度量空間（「(-∞ 3]」），則大于二而不大于三之半閉區間，實以三為心，半徑為一之開球也。（「B(3,1)=(2,3]」）
• 平面為度量空間，不含邊界之多邊形內側，圓內側，橢圓內側，皆開集也。