洛倫茨變換

名於創立者荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲。洛倫茲變換初以調經典電動力學牛頓力學，後乃狹義相對論基本方程組也。

麥克斯韋方程組之經典電動力學於經典力學伽利略變換非協變也。

 

洛倫茲變換視以太存也，然今未見有也。據光速不變原理，光恆速也。愛因斯坦遂提之狹義相對論，時空乃一也，遂曰：

${\displaystyle {\begin{cases}x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y'=y\\z'=z\\t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}}$ 

箇中：x、y、z、t，慣性坐標系Σ之位也；x'、y'、z'、t'慣性坐標系Σ'之位也；v，Σ'系對Σ沿x軸之速也。

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y=y'\\z=z'\\t={\frac {t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}}$ 

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換：

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x-vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}}}$ 

遂狹義相對論經典力學不矛盾，差之不大。高速如電子，方須慮修之以相對論。

狹義相對論時空坐標四參數（（t,x,y,z））也。洛倫茲變換可得四維間隔不變之變。

若x、y、z化x¹、x²、x³曰：

${\displaystyle {\begin{cases}x^{0}=ct\\x^{\prime }{}^{0}=ct^{\prime }\end{cases}}}$ 

可矩陣之：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime }{}^{0}\\x^{\prime }{}^{1}\\x^{\prime }{}^{2}\\x^{\prime }{}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}}$ 

箇中${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ ，曰洛倫茲因子。

愛因斯坦初推之勞侖茲變換以光速不變之物理原則作始點。實，勞侖茲變換不決於電磁波之物理性質；粒子定域性原理之弗能瞬傳，此最高速巧光速也。

群論之推導

作乘組群符之公理曰：

1. 閉合：以${\displaystyle [K\to K^{\prime }]}$ 寫${\displaystyle K}$ 到${\displaystyle K^{\prime }}$ 。${\displaystyle [K\to K^{\prime \prime }]=[K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]}$ 
2. 結合律：${\displaystyle [K\to K^{\prime }]\left([K^{\prime }\to K^{\prime \prime }][K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]\right)=\left([K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]\right)[K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]}$ 
3. 單位元：${\displaystyle [K\to K]}$ 
4. 逆元：${\displaystyle [K\to K^{\prime }]}$ 可返原系${\displaystyle [K^{\prime }\to K]}$ 

符合群公理之轉矩陣

${\displaystyle K}$ 、${\displaystyle K^{\prime }}$ ，${\displaystyle K^{\prime }}$ 之原點相對${\displaystyle K}$ 原點速${\displaystyle v}$ （設向${\displaystyle z}$ 無${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle y}$ 方向）。出時空之均勻性勞侖茲變換必保慣性，必一綫性轉換，可矩陣之：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}}$ 

箇中${\displaystyle \Lambda _{ij}}$ 乃待算之矩陣元。相對速${\displaystyle v}$ 之函數。

參照系${\displaystyle K^{\prime }}$ 之原點${\displaystyle O^{\prime }}$ 於參照系${\displaystyle K}$ 之運動曰：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\vt\end{pmatrix}}}$ 

得

${\displaystyle \Lambda _{21}+v\,\Lambda _{22}=0}$ 

同，參照系${\displaystyle K}$ 之原點${\displaystyle O}$ 於參照系${\displaystyle K^{\prime }}$ 之運動曰：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\-vt^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{11}&\Lambda _{12}\\\Lambda _{21}&\Lambda _{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}}}$ 

得

${\displaystyle \Lambda _{21}+v\,\Lambda _{11}=0}$ 

主斜同且可曰${\displaystyle \gamma \equiv \Lambda _{11}=\Lambda _{22}\,}$ 。${\displaystyle \Lambda _{21}=-v\,\gamma }$ ：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &\Lambda _{12}\\-v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}}$ 

因${\displaystyle t^{\prime }=\gamma t}$ ，${\displaystyle \gamma }$ 乃時間膨脹之因子。各向同性${\displaystyle \gamma }$ 僅決速即${\displaystyle \gamma (-v)=\gamma (v)}$ 。

群元可逆故取逆矩陣：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma }}{\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}}$ 

以${\displaystyle \gamma }$ 之性質：

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma }}{\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\Lambda _{12}\\v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}}$ 

每較得：

${\displaystyle \gamma ^{2}+\Lambda _{12}v\gamma =1}$ 

閉合性求兩轉換等速度和之單次轉換。即兩矩陣之積：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime }&\Lambda _{12}^{\prime }\\-v^{\prime }\gamma ^{\prime }&\gamma ^{\prime }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &\Lambda _{12}\\-v\gamma &\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime }\gamma -\Lambda _{12}^{\prime }v\gamma &\gamma ^{\prime }\Lambda _{12}+\gamma \Lambda _{12}^{\prime }\\-\gamma ^{\prime }\gamma (v+v^{\prime })&\gamma ^{\prime }\gamma -v^{\prime }\gamma ^{\prime }\Lambda _{12}\end{pmatrix}}}$ 

必擁同之矩陣型式。故曰：

${\displaystyle \kappa \equiv {\frac {\Lambda _{12}}{v\gamma }}={\frac {\Lambda _{12}^{\prime }}{v^{\prime }\gamma ^{\prime }}}}$ 

必一相對速${\displaystyle v}$ 無關之常數。插入較前等式得${\displaystyle \gamma }$ 之定義：

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}}$ 

而最廣泛之勞侖茲變換矩陣型式曰：

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}{\begin{pmatrix}1&\kappa v\\-v&1\end{pmatrix}}}$ 

至此${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{|\kappa |}}}$ 乃不變速。若${\displaystyle \kappa \,>0}$ ，c限之。未符實。故${\displaystyle \kappa \leq 0}$ 。

可曰${\displaystyle \kappa \,=0}$ 、${\displaystyle \kappa \,<0}$ 兩：

伽利略轉換

${\displaystyle \kappa =0}$ 得伽利略轉換矩陣：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}}$ 

於此時乃絕對之：${\displaystyle t^{\prime }=t}$ 。

勞侖茲變換

於更一般${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {-\kappa }}}<\infty }$ 之情况遂得前之勞侖茲變換矩陣：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{\prime }\\z^{\prime }\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\begin{pmatrix}1&-{\frac {v}{c^{2}}}\\-v&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\z\end{pmatrix}}}$ 

遂所有參照系不變之速限：${\displaystyle c}$ 。

設慣性坐標系Σ之各軸之速量u_x、u_y、u_z；Σ'之各軸之速量u'_x、u'_y、u'_z：

${\displaystyle u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}}$ 
${\displaystyle u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}}$ 
${\displaystyle u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}}$ 

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換：

${\displaystyle u'_{x}=u_{x}-v}$ 
${\displaystyle u'_{y}=u_{y}}$ 
${\displaystyle u'_{z}=u_{z}}$ 

類時分量${\displaystyle A}$ 、類空分量${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{x},Z_{y},Z_{z})}$ 之四維向量${\displaystyle (A,\mathbf {Z} )}$ ，其閔考斯基範（Minkowski norm）乃勞倫茲不變量（Lorentz invariant）：

${\displaystyle A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} =A'^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '}$ 。

仿寫：

${\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-\mathbf {Z} \cdot {\boldsymbol {\beta }}\right){\mbox{，}}\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma A{\boldsymbol {\beta }}{\mbox{，}}\end{aligned}}}$ 

箇中${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c=v\mathbf {n} /c}$ ，${\textstyle \mathbf {n} }$ 乃${\displaystyle \mathbf {v} }$ 方向上之單位向量。${\displaystyle \mathbf {Z} }$ 、${\displaystyle \mathbf {Z} '}$ 分解成垂直${\displaystyle \mathbf {v} }$ 和平行${\displaystyle \mathbf {v} }$ 與位置向量之分解方法同。取逆變換與四維位置同，遂換${\displaystyle (A,\mathbf {Z} )}$ 與${\displaystyle (A',\mathbf {Z} ')}$ ，後相反相對動向，即${\displaystyle \mathbf {n} \mapsto -\mathbf {n} }$ 。

常見之四維向量如下表：

四維向量	${\displaystyle A}$	${\displaystyle \mathbf {Z} }$
四維位置	時間（乘以${\displaystyle c}$ ）${\displaystyle ct}$	位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} }$
四維動量	能量（除以${\displaystyle c}$ ）${\displaystyle E/c}$	動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$
四維波向量	角頻率（除以${\displaystyle c}$ ）${\displaystyle \omega /c}$	波向量 ${\displaystyle \mathbf {k} }$
四維自旋	（無名稱）${\displaystyle s_{\text{t}}}$	自旋 ${\displaystyle \mathbf {s} }$
四維電流密度	電荷密度（乘以${\displaystyle c}$ ）${\displaystyle \rho c}$	電流密度${\displaystyle \mathbf {j} }$
四維電磁位勢	電位（除以${\displaystyle c}$ ）${\displaystyle \phi /c}$	磁向量位 ${\displaystyle \mathbf {A} }$

平面幾何向量某${\displaystyle (x,y)}$ 於原點以${\displaystyle \theta }$ 順旋之。新系同向量${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime })}$ 曰：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ 

長不變曰：${\displaystyle (x^{\prime })^{2}+(y^{\prime })^{2}=(x)^{2}+(y)^{2}}$ 。

異角度${\displaystyle \phi }$ 再旋之，向量新舊關係曰：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime \prime }\\y^{\prime \prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta +\phi )&\sin(\theta +\phi )\\-\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ 

即：續旋可加。

相似，定義快度${\displaystyle w={\text{arctanh}}\beta }$ （略${\displaystyle x^{2}}$ 和${\displaystyle x^{3}}$ ）公式可曰：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime }{}^{0}\\x^{\prime }{}^{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{bmatrix}}}$ 

即：洛倫兹變換數學同於雙曲角旋轉。

旋長不變乃：

${\displaystyle (x^{\prime }{}^{0})^{2}-(x^{\prime }{}^{1})^{2}=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}}$ 。

換異速${\displaystyle \beta _{21}}$ 之系，再換${\displaystyle \beta _{32}}$ 之。使${\displaystyle w_{21}={\text{arctanh}}\beta _{21}}$ 、${\displaystyle w_{32}={\text{arctanh}}\beta _{32}}$ 。即原系座標${\displaystyle (x^{0},x^{1})}$ 兩換${\displaystyle (x^{\prime \prime }{}^{0},x^{\prime \prime }{}^{1})}$ 曰：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{\prime \prime }{}^{0}\\x^{\prime \prime }{}^{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh(w_{21}+w_{32})&-\sinh(w_{21}+w_{32})\\-\sinh(w_{21}+w_{32})&\cosh(w_{21}+w_{32})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{bmatrix}}}$ 

遂見直加之數非速${\displaystyle \beta }$ 而乃角之${\displaystyle w={\text{arctanh}}\beta }$ 。

直加減惟因速遠小光（${\displaystyle \beta \ll 1}$ ）${\displaystyle w}$ 速${\displaystyle w\simeq \beta }$ 。

終，直接轉換若兩速${\displaystyle \beta _{31}}$ 即：

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{31}&=w_{21}+w_{32}\\\tanh w_{31}&=\tanh(w_{21}+w_{32})={\frac {\tanh w_{21}+\tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21}\tanh w_{32}}}\\\beta _{31}&={\frac {\beta _{21}+\beta _{32}}{1+\beta _{21}\beta _{32}}}\end{aligned}}}$ 

得之相對論速率加法公式。