Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn ∑ n = 1 ∞ a n ^a_} .
Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.
Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.
Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc n hay tiêu chuẩn căn Cauchy.
Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng. Ví dụ, với chuỗi
sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.[cần dẫn nguồn]
Chuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho . Nếu tích phân vô định
Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số . Vậy thì chuỗi hội tụ khi và chỉ khi .
Trường hợp ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp là bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến . Tổng quát, với , chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với tức là .
Nếu chuỗi là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng với n đủ lớn, thì chuỗi cũng hội tụ tuyệt đối.
Nếu , (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì phân kỳ khi và chỉ khi phân kỳ.
Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Cho là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn hội tụ khi và chỉ khi tổng hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức được thỏa mãn.
Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ.
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Vậy và là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz.
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Vậy thì chuỗi cũng hội tụ.
Nếu là một dãy số thực và là một dãy số phức thỏa mãn
trong đó M là một hằng số, thì chuỗi
hội tụ.
Cho dãy .
Định nghĩa dãy
Nếu giới hạn
tồn tại thì có ba khả năng:
Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σan là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu b > 1 và tồn tại một số tự nhiên K sao cho
với mọi n > K thì chuỗi Σan hội tụ.
Cho { an } là một dãy số dương.
Định nghĩa
Nếu tồn tại giới hạn
thì có ba khả năng:
Cho { an } là một dãy số dương. Nếu với một số β > 1, thì hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ nếu α ≤ 1.
Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourier có dấu hiệu Dini.
Xét chuỗi
Theo tiêu chuẩn Cauchy nén, (*) hội tụ hữu hạn khi
cũng hội tụ hữu hạn. Bởi
(**) là một chuỗi hình học với công bội . (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là ). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi .
Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn , thì tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi hội tụ.
Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.
This article uses material from the Wikipedia Tiếng Việt article Dấu hiệu hội tụ, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Nội dung được phát hành theo CC BY-SA 4.0, ngoại trừ khi có ghi chú khác. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Tiếng Việt (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.