Tọa Độ Tỉ Cự

Trong hình học, hệ tọa độ Barycentric (Còn gọi là Hệ tọa độ tỉ cự) là một hệ tọa độ trong đó vị trí của một điểm trong một đa diện, được xác định là một trọng tâm hay tâm tỉ cự.

Tọa độ cũng được mở rộng bên ngoài đa diện, nơi có một hoặc nhiều tọa độ có giá trị âm. Khái niệm này được giới thiệu bởi August Ferdinand Mobius (1827).

Định nghĩa Tọa Độ Tỉ Cự

Cho Tọa Độ Tỉ Cự  là một hệ điểm trên một đa diện của không gian afin A (affine space). Nếu một điểm p thuộc A,

    Tọa Độ Tỉ Cự  hay Tọa Độ Tỉ Cự 

và có ít nhất một trong Tọa Độ Tỉ Cự  không bị triệt tiêu nên ta nói rằng dãy các hệ số Tọa Độ Tỉ Cự  là một tọa độ Barycentric của p có mối quan hệ với dãy Tọa Độ Tỉ Cự  Bản thân các đỉnh của chúng có tọa độ Tọa Độ Tỉ Cự  Các tọa barycentric không phải là duy nhất: với mọi b khác 0, Tọa Độ Tỉ Cự  cũng là tọa độ barycentric của p. Nếu tọa độ không âm, p nằm trong bao lồi của Tọa Độ Tỉ Cự , vậy trong một đa diện, điểm của nó được xem như là một đỉnh.

Theo định nghĩa, tọa độ barycentric được biểu diễn dưới dạng tọa độ đồng nhất. Đôi khi giá trị của tọa độ bị hạn chế bởi một điều kiện

    Tọa Độ Tỉ Cự 

làm cho các tọa độ đó là duy nhất, cho nên chúng là tọa độ afin (affine coordinates).

Tọa độ barycentric trên một tam giác Tọa Độ Tỉ Cự

Tọa Độ Tỉ Cự 
Các tọa độ barycentric Tọa Độ Tỉ Cự  trong tam giác đều và tam giác vuông.

Trong tam giác, tọa độ barycentric có thể được nói với tên gọi khác là tọa độ của một bề mặt, vì tọa độ của P liên hệ đến các tam giác PBC, PCAPAB trong tam giác lớn nhất ABC. Tọa độ barycentric là một công cụ rất quan trọng trong các ứng dụng kỹ thuật liên quan đến tam giác bao gồm miền con của tam giác. Nó cho thấy việc phân tích và tính toán một bài toán trở nên dễ dàng và các bảng tứ phương Gauss được trình bày trong đó có các tọa độ barycentric. Xét một tam giác Tọa Độ Tỉ Cự  cấu thành bởi 3 đỉnh r1, r2r3. Với mỗi điểm đó ta có thể viết một tổ hợp lồi của 3 điểm. Nói cách khác, với mỗi điểm r ta có thứ tự duy nhất các số Tọa Độ Tỉ Cự  vậy nên Tọa Độ Tỉ Cự 

    Tọa Độ Tỉ Cự 

3 số Tọa Độ Tỉ Cự  chỉ ra rằng tọa độ của điểm r liên hệ với tam giác. Nó có thể được ký hiệu dưới dạng Tọa Độ Tỉ Cự  Chú ý rằng mặc dù nó có 3 tọa độ nhưng nó chỉ có 2 "mức độ tự do", vì Tọa Độ Tỉ Cự 

Chuyển đổi giữa tọa độ barycentric và tọa độ Cartesian

Với mỗi điểm r trong một tam giác có thể tìm được tọa độ barycentric Tọa Độ Tỉ Cự  từ tọa độ Cartesian Tọa Độ Tỉ Cự  và ngược lại.

Ta có thể viết tọa độ Cartesian của điểm r bằng các thành phần Cartesian của một hệ điểm tam giác Tọa Độ Tỉ Cự  với Tọa Độ Tỉ Cự , về tọa độ r thì ta có

    Tọa Độ Tỉ Cự 
    Tọa Độ Tỉ Cự 

Để đổi ngược lại, từ tọa độ Cartesian vào tọa độ barycentric, đầu tiên thế Tọa Độ Tỉ Cự  vào hai biểu thức trên để ta có được

    Tọa Độ Tỉ Cự 
    Tọa Độ Tỉ Cự 

Chuyển vế đổi dấu ta được

    Tọa Độ Tỉ Cự 
    Tọa Độ Tỉ Cự 

Biến đổi tuyến tính có thể viết gọn là

    Tọa Độ Tỉ Cự 

với Tọa Độ Tỉ Cự  là vector có tọa độ barycentric, r là vector có tọa độ Cartesian và Tọa Độ Tỉ Cự  là ma trận được cho bởi

    Tọa Độ Tỉ Cự 

Tọa Độ Tỉ Cự  khả nghịch khi Tọa Độ Tỉ Cự Tọa Độ Tỉ Cự  độc lập tuyến tính (nếu đây không phải là trường hợp, Tọa Độ Tỉ Cự  có thể là song tuyến tính và không cấu thành tam giác). Thật vậy, ta có thể thế số trên vào phương trình để

    Tọa Độ Tỉ Cự 

Quá trình đi tìm tọa barycentric không khác gì đi tìm ma trận khả nghịch của Tọa Độ Tỉ Cự  khá dễ dàng trong trường hợp ma trận 2×2. Rõ ràng ta thấy các công thức tính tọa độ barycentric của điểm r về tọa độ Cartesian của chúng (x,y) và về tọa độ Cartesian của hệ điểm trong tam giác sẽ có là

    Tọa Độ Tỉ Cự 

với Tọa Độ Tỉ Cự 

    Tọa Độ Tỉ Cự 
    Tọa Độ Tỉ Cự 

Một cách khác để chuyển đổi từ tọa độ Cartesian sang tọa độ barycentric để viết lại biểu thức dưới dạng ma trận

    Tọa Độ Tỉ Cự 

với Tọa Độ Tỉ Cự 

    Tọa Độ Tỉ Cự 

Và điều kiện Tọa Độ Tỉ Cự  ghi chú Tọa Độ Tỉ Cự  và tọa độ barycentric có thể được giải quyết như các giải pháp của các hệ tuyến tính

    Tọa Độ Tỉ Cự 

Chuyển đổi giữa tọa độ barycentric và tọa độ tam tuyến tính

Một điểm có tọa độ tam tuyến tính x:y:z có tọa độ barycentric ax:by:cz với a, bc là các độ dài phụ của tam giác nào đó. Nhưng ngược lại, một điểm có tọa độ barycentric α:β:γ sẽ có tọa độ tam tuyến tính α/a:β/b:γ/c.

Ứng dụng: Xác định vị trí đối với một tam giác

Ứng dụng: Phép nội suy trên lưới phi cấu trúc tam giác

Ứng dụng: Tích phân trên một tam giác

Ví dụ

Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác ABC có tọa độ barycentric

    Tọa Độ Tỉ Cự 
    Tọa Độ Tỉ Cự 

với a, bc lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của một tam giác. Trực tâm của tam giác cũng tương tự

    Tọa Độ Tỉ Cự 

Incenter cũng có

    Tọa Độ Tỉ Cự 

Tâm cửu-điểm cũng có

    Tọa Độ Tỉ Cự 
      Tọa Độ Tỉ Cự 

Tọa độ trên một tứ diện Tọa Độ Tỉ Cự

Ở đây biểu thức lại được biểu diễn dưới dạng biến đổi tuyến tính (nhưng khác ở chỗ là chúng ta đang xét trên một tứ diện trong Tọa Độ Tỉ Cự  nên nó có 4 điểm - thì sẽ có 4 thành phần số trong tọa độ

    Tọa Độ Tỉ Cự 

trong đó Tọa Độ Tỉ Cự  là một ma trận cấp 3×3:

    Tọa Độ Tỉ Cự 

Tham khảo

Sách tham khảo Tọa Độ Tỉ Cự

  • Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. ISBN 978-1-906338-00-8.
  • Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to geometry (ấn bản 2). John Wiley and Sons. tr. 216–221. ISBN 978-0-471-50458-0. Zbl 0181.48101.
  • Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction Lưu trữ 2012-05-19 tại Wayback Machine, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
  • Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009
  • Weisstein, Eric W., "Areal Coordinates" từ MathWorld.
  • Weisstein, Eric W., "Barycentric Coordinates" từ MathWorld.

Tags:

Định nghĩa Tọa Độ Tỉ CựTọa độ barycentric trên một tam giác Tọa Độ Tỉ CựTọa độ trên một tứ diện Tọa Độ Tỉ CựSách tham khảo Tọa Độ Tỉ CựTọa Độ Tỉ Cựen:August Ferdinand MöbiusĐa diện

🔥 Trending searches on Wiki Tiếng Việt:

Danh sách trường trung học phổ thông tại Hà NộiĐền HùngVincent van GoghNguyễn Đình ThiĐại học Bách khoa Hà NộiĐoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí MinhGallonNam TưThiếu nữ bên hoa huệQuan hệ tình dụcBánh mì Việt NamH'MôngDanh sách trại giam ở Việt NamNgân hàng Thương mại cổ phần Đầu tư và Phát triển Việt NamKhu rừng đen tốiNguyễn Thị Thu Hà (Ninh Bình)Động lượngBảy hoàng tử của Địa ngụcHồ Quý LyNam ĐịnhHoa hồngSóc TrăngMỹ ĐứcXuân DiệuSingaporeAshley ColeHội đồng Bảo an Liên Hợp QuốcAlbert EinsteinLương Tam QuangNhật BảnCua lại vợ bầuHai Bà TrưngTiếng Trung QuốcSở Kiều truyện (phim)Nhà Hậu LêHàn QuốcArya bàn bên thỉnh thoảng lại trêu ghẹo tôi bằng tiếng NgaQuốc kỳ Việt NamTrần Quốc VượngHàn Mặc TửMã QRGiỗ Tổ Hùng VươngChí PhèoNghệ AnThừa Thiên HuếHương TràmDanh mục sách đỏ động vật Việt NamXVideosBan Bí thư Trung ương Đảng Cộng sản Việt NamChiến tranh thế giới thứ nhấtNhà Tiền LêNATOMalaysiaCăn bậc haiĐài LoanVòng loại giải vô địch bóng đá châu Âu 2024Võ Tắc ThiênBáo động khẩn, tình yêu hạ cánhTrương Tấn SangBiển ĐôngHồ Hoàn KiếmNguyễn Cao KỳHùng VươngGốm Bát TràngGoogle MapsPhố cổ Hội AnTrịnh Đình DũngĐờn ca tài tử Nam BộFIFAHội AnKim Sae-ronĐà LạtĐông Nam BộĐinh Tiên HoàngDanh mục các dân tộc Việt NamAn GiangMai (phim)🡆 More