Tập Trù Mật

Giả sử A và B là 2 tập con trong không gian tôpô X. Ta nói tập A trù mật trong tập B nếu ${\displaystyle B\subset {\bar {A}}}$ trong đó ${\displaystyle {\bar {A}}}$ là ký hiệu bao đóng của tập A. Thêm nữa, tập A được gọi là trù mật khắp nơi nếu A trù mật trong toàn không gian X. Để dễ hình dung, ta xét trường hợp đặc biệt trong không gian mêtric X thì định nghĩa trên được phát biểu lại trực quan như sau: Tập A trù mật trong B nếu mỗi phần tử ${\displaystyle x\in B}$ và với ${\displaystyle \epsilon >0,\exists y\in A:d(y,x)<\epsilon }$ trong đó ký hiệu d(x,y) là khoảng cách giữa 2 điểm (phần tử) x và y.

Nói một cách nôm na rằng, tập A trù mật trong B nếu mọi phần tử trong B đều bị kiểm soát bởi những phần tử trong A với khoảng cách bé tùy ý, tức là, cứ lấy mỗi phần tử ${\displaystyle x\in B}$ làm tâm, quay một vòng tròn bán kính ${\displaystyle \epsilon >0}$ tùy ý thì thế nào trong hình tròn này cũng có mặt một phần tử ${\displaystyle y\in A}$

Hay đơn giản hơn:

Tập trù mật A nghĩa là nếu ${\displaystyle {\overline {A}}}$ đóng trong ${\displaystyle A}$ thì A trù mật trong ${\displaystyle {\overline {A}}}$.Bao đóng của A chính là phần bù của A.

• Tập số hữu tỉ, Tập số vô tỉ là 2 tập trù mật trong tập số thực.
• Với tô pô hội tụ đều trên các tập compact, tập các đa thức một biến trù mật trong không gian hàm một biến liên tục.
• Theo chuẩn hội tụ trung bình bình phương, tập các đa thức một biến, đa thức lượng giác, hàm một biến liên tục là 3 tập trù mật trong không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue.
• Một điểm ge-ne-ric của một không gian tô pô ${\displaystyle X}$  là một điểm ${\displaystyle p}$  sao cho ${\displaystyle \{p\}}$  trù mật trong ${\displaystyle X}$ .