Tích Phân Đường

 

Một tích phân đường trong giải tích vecto có thể được xem như là một cách đo tổng ảnh hưởng của một trường cho trước dọc theo một đường cong cho trước. Cụ thể hơn, tích phân đường của một trường vô hướng có thể được diễn tả như là diện tích bên dưới trường đó được tạo ra bởi một đường cong nào đó. Điều này có thể tưởng tượng bằng cách xem mặt cong tạo ra bởi z = f(x,y) và một đường cong C trên mặt phẳng x-y. Tích phân đường của f sẽ là diện tích của bức "màn" tạo ra khi một điểm chuyển động ngay bên trên mặt của C tạo ra.

Định nghĩa

Với một trường vô hướng f: U ⊆ Rⁿ → R, một tích phân đường dọc theo một đường trơn gián đoạn C ⊂ U được định nghĩa như là

${\displaystyle \oint _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$ 

trong đó r: [a, b] → C là một tham số hóa của đường cong C sao cho r(a) và r(b) là hai điểm cuối của C.

Hàm số f được gọi là hạng tử tích phân, đường cong C là tập nguồn của tích phân, và ký hiệu ds có thể được diễn giải như là một đơn vị độ dài đường cong cơ bản. Tích phân đường của trường vô hướng theo một đường cong C không phụ thuộc vào cách tham số hóa r của C.

Tích phân đường của một trường vectơ

Với một trường vectơ F: U ⊆ Rⁿ → Rⁿ, tích phân đường dọc theo một đường cong trơn gián đoạn C ⊂ U, theo hướng của r, được định nghĩa bởi

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$ 

trong đó · là tích vô hướng và r: [a, b] → C là một tham số hóa song ánh của đường cong C sao cho r(a) và r(b) là hai điểm cuối của C.

Tích phân đường của một trường vô hướng do vậy chỉ là tích phân của một trường vectơ mà trong đó các vectơ luôn tiếp tuyến với đường cong đó.

Tích phân đường của trường vec tơ không phụ thuộc và tham số hóa r trong giá trị tuyệt đối, nhưng phụ thuộc vào định hướng của đường cong. Sự đảo ngược định hướng của đường cong sẽ làm thay đổi dấu của tích phân đường.