Vectơ: Vật thể trong toán học biểu thị hướng và độ lớn (chiều dài)

Trong toán học, vật lý và kỹ thuật, véctơ hay hướng lượng (theo phiên âm Hán Việt) (tiếng Anh: vector) là một đoạn thẳng có hướng.

Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều, độ lớn (chiều dài của vectơ). Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được vectơ .

Một vectơ là những gì cần thiết để "mang" điểm A đến điểm B; từ "vector" trong tiếng Latin có nghĩa là "người vận chuyển", lần đầu tiên được sử dụng bởi các nhà thiên văn học thế kỷ 18 trong cuộc cách mạng khảo sát các hành tinh quay quanh Mặt trời. Độ lớn của vectơ là khoảng cách giữa 2 điểm và hướng dịch chuyển từ điểm A đến điểm B. Nhiều phép toán đại số trên các số thực như cộng, trừ, nhân và phủ định có sự tương tự gần gũi với vectơ, phép toán tuân theo các quy luật đại số quen thuộc của giao hoán, kết hợp và phân phối. Mỗi vectơ là một phần tử trong không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài). Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, ký hiệu là . Vectơ được ký hiệu là hoặc , , , .

Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ
Vectơ hướng từ A đến B

Trong giải tích, một vectơ trong không gian Euclid Rn là một bộ n số thực (x1, x2,..., xn).

Có thể hình dung một vectơ trong không gian Rn là đoạn thẳng có hướng (thường vẽ theo hình mũi tên), đuôi ở gốc tọa độ 0, mũi ở điểm (x1, x2,..., xn).

Vectơ đóng vai trò quan trọng trong ngành vật lý học: vận tốc, gia tốc của một vật và lực tác động lên nó có thể được biểu diễn bằng vectơ.

Lịch sử Vectơ

Khái niệm về vectơ, như chúng ta biết ngày nay, đã phát triển dần dần trong khoảng thời gian hơn 200 năm. Khoảng một chục người đã bỏ nhiều công sức để đóng góp.

Giusto Bellavitis đã trừu tượng hóa ý tưởng cơ bản vào năm 1835 khi ông thiết lập khái niệm về sự trang bị. Làm việc trong một mặt phẳng Euclide, ông ta đã tạo ra bất kỳ cặp phân đoạn đường nào có cùng độ dài và hướng. Về cơ bản, ông nhận ra một mối quan hệ tương đương trên các cặp điểm (lưỡng cực) trong mặt phẳng và do đó dựng lên không gian đầu tiên của vectơ trong mặt phẳng.:52–4

Thuật ngữ vectơ được William Rowan Hamilton giới thiệu như là một phần của tứ phương, là tổng q = s + v của một số thực s (còn gọi là vô hướng) và vectơ 3 chiều. Giống như Bellavitis, Hamilton đã xem các vectơ là đại diện của các lớp phân khúc được định hướng trang bị. Khi các số phức sử dụng một đơn vị tưởng tượng (số ảo) để bổ sung cho phần số thực, Hamilton coi vectơ v là phần số ảo của một phần tư:

    Phần số ảo, được xây dựng hình học bởi một đường thẳng hoặc vectơ bán kính, nói chung, đối với mỗi bậc bốn xác định (quaternion), chiều dài xác định và hướng xác định trong không gian, có thể được gọi là vectơ thành phần, hoặc đơn giản là vectơ tứ phương (quaternion).

Một số nhà toán học khác đã phát triển các hệ thống giống như vectơ vào giữa thế kỷ XIX, bao gồm Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant và Matthew O'Brien. Công trình năm 1840 của Grassmann Theorie der Ebbe und Flut (Lý thuyết về Ebb và Flow) là hệ thống phân tích không gian đầu tiên tương tự như hệ thống ngày nay và có ý tưởng tương ứng với tích có hướng, tích vô hướng và vectơ vi phân. Các nghiên cứu của Grassmann phần lớn bị bỏ quên cho đến những năm 1870.

Peter Guthrie Tait mang tiêu chuẩn bậc bốn sau Hamilton. Chuyên luận về Đệ tứ năm 1867 của ông bao gồm điều trị rộng rãi cho người điều hành nabla hoặc del ∇.

Năm 1878, yếu tố năng động được xuất bản bởi William Kingdon Clifford. Clifford đã đơn giản hóa nghiên cứu Quaternion bằng cách tách tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ từ phương trình Quaternion hoàn chỉnh. Cách tiếp cận này làm cho các tính toán véc tơ có sẵn cho các kỹ sư và những người làm việc theo không gian ba chiều và hoài nghi về không gian bốn chiều.

Josiah Willard Gibbs, ông đã được tiếp xúc với các nhóm tứ phương thông qua chuyên luận về điện và từ tính của James Clerk Maxwell, đã tách ra khỏi phần vectơ của họ để tính toán độc lập. Nửa đầu của Phân tích vectơ của Gibbs, xuất bản năm 1881, trình bày về cơ bản hệ thống phân tích vectơ hiện đại. Năm 1901, Edwin Bidwell Wilson đã xuất bản Phân tích Vectơ, phỏng theo các bài giảng của Gibb, trong đó đã loại bỏ vectơ tứ phương (Quaternion) trong việc phát triển phép tính vectơ.

Các khái niệm cơ bản Vectơ

  • Độ lớn của vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  trong hình học được đo bằng độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu giống như ký hiệu giá trị tuyệt đối: Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  đọc là độ dài của vectơ AB
  • Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh.
  • Ngoài ra, bạn cũng có thể dễ nhận thấy 1 tính chất cộng đơn giản khác của vectơ: Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Vectơ-không là vectơ đặc biệt có điểm đầu trùng với điểm cuối. Ký hiệu là Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  hoặc Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • 2 vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau
  • 2 vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng hướng (phương song song, cùng chiều) và độ lớn bằng nhau. Véctơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  bằng véctơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  được ký hiệu là Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ .
  • 2 vectơ đối nhau là 2 vectơ ngược hướng (phương song song, ngược chiều) và độ lớn bằng nhau. Vectơ đối của véctơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ , ta có Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Vectơ tự do: vectơ có thể di chuyển tịnh tiến đến một điểm bất kì, thực chất là thay thế bởi một vectơ khác bằng với vectơ cũ
  • Vectơ buộc: vectơ có điểm đầu cố định, không di chuyển được. Trong vật lý, vectơ buộc được dùng để biểu thị các lực tác dụng vào điểm đặt lực.
  • Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  có điểm đầu đặt tại gốc hệ tọa độ thì có thể xác định hoàn toàn bằng tọa độ của điểm cuối của nó, là một bộ số thực sắp thứ tự Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  trong mặt phẳng và Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  trong không gian. Trong không-thời gian bốn chiều, tọa độ đó được xác định bằng Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  trong đó ctốc độ ánh sáng, tthời gian.

Góc giữa 2 Vectơ

Cho 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ . Từ điểm O vẽ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ . Khi đó Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  chính là góc giữa Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ . Ký hiệu Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Quy ước trong hình học

  • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Góc hợp bởi 2 vectơ cùng phương và cùng hướng là Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Góc hợp bởi 2 vectơ cùng phương và ngược hướng là Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Phép toán trên Vectơ

Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
Phép cộng vectơ bằng quy tắc hình bình hành (trái) và tam giác (phải)

Phép cộng hai vectơ

Quy tắc

Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  là một vectơ được xác định theo quy tắc:

  • Quy tắc 3 điểm: di chuyển vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  sao cho điểm đầu C của Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  trùng với điểm cuối B của Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ : Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ . Khi đó vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
  • Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ . Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ , chiều từ gốc A đến điểm cuối

Tính chất Vectơ

  • Tính chất giao hoán

Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

  • Tính chất kết hợp

Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

  • Tính chất của vectơ-không Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Với 3 điểm A, B, C bất kỳ, ta có: Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • I là trung điểm đoạn thẳng AB Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • G là trọng tâm Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Hiệu hai vectơ

Ta có:  Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C, ta có Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Tích vectơ với một số

Quy tắc

  • Phép nhân vectơ với một số: tích của vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  với một số thực Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ , cùng chiều nếu Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  và ngược chiều nếu Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ , có độ dài bằng Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Tính chất

  • Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có
    • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
    • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
    • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
    • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

  • Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần để hai vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  cùng phương là có một số k để Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Nếu Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  cùng hướng thì Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Nếu Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ  ngược hướng thì Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Tích vô hướng của hai vectơ

Quy tắc

    Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Các tính chất của tích vô hướng

  • Tính chất giao hoán Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Tính chất phân phối Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Một số tính chất mở rộng

  • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 
  • Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng: Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Trong không gian 3 chiều: Vectơ: Lịch sử, Các khái niệm cơ bản, Góc giữa 2 vectơ 

Xem thêm

Tham khảo

  1. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
  2. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao

Liên kết ngoài

Tags:

Lịch sử VectơCác khái niệm cơ bản VectơGóc giữa 2 VectơPhép toán trên VectơVectơChiềuChiều dàiHán ViệtKỹ thuậtPhươngTiếng AnhToán họcVật lýĐoạn thẳng

🔥 Trending searches on Wiki Tiếng Việt:

Thường trực Ban Bí thư Trung ương Đảng Cộng sản Việt NamNạn đói năm Ất Dậu, 1944–1945Cần ThơNông Đức MạnhChùa Một CộtSeo Yea-jiNgũ hànhHàn Mặc TửQuân đoàn 3, Quân đội nhân dân Việt NamYên NhậtChủ nghĩa tư bảnTrương Tấn SangBắc Trung BộTạ Duy AnhVũ trụKinh Ăn Năn TộiCuộc đua xe đạp toàn quốc tranh Cúp truyền hình Thành phố Hồ Chí Minh 2024Máy tínhBi da ba băngTrận SekigaharaHoàng thành Thăng LongHai nguyên lý của phép biện chứng duy vậtĐảng Cộng sản Việt NamHàn QuốcTrận Bạch Đằng (938)Danh sách di sản thế giới tại Việt NamĐứcPhùng Quang ThanhLee Do-hyunBùi Quang Huy (chính khách)HentaiChúa Nhật Lễ LáNguyễn Văn ThiệuNhà HánChuyện người con gái Nam XươngChuỗi thức ănNgân hàng Thương mại Cổ phần Tiên PhongThụy ĐiểnGiang maiStephen HawkingRobert OppenheimerHoàng QuyChữ HánĐại học Bách khoa Hà NộiNinh ThuậnZinédine ZidaneNguyễn Vân ChiInternetBlackpinkCông an cấp tỉnh (Việt Nam)Lưu BịHuy CậnCách mạng Công nghiệpĐài Truyền hình Kỹ thuật số VTCBình ThuậnBộ Quốc phòng (Việt Nam)Đắc nhân tâmDanh sách quốc gia xã hội chủ nghĩaTrần Hưng ĐạoNgười ViệtTriều đại trong lịch sử Trung QuốcLong diên hươngBan Cơ yếu Chính phủ (Việt Nam)YCục An ninh mạng và phòng, chống tội phạm sử dụng công nghệ caoThành phố trực thuộc trung ương (Việt Nam)Can ChiHà NộiCách mạng Công nghiệp lần thứ tưĐại hội Đại biểu toàn quốc Đảng Cộng sản Việt NamTaylor SwiftHội AnMeta PlatformsĐắk LắkTín ngưỡng thờ Mẫu Việt NamLiên Hợp Quốc🡆 More