Ánh Xạ

Trong toán học, ánh xạ (Tiếng Anh: mapping) là một khái niệm chỉ quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mỗi phần tử của tập hợp đầu tiên (được gọi là tập nguồn) với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai (được gọi là tập đích).

Tập nguồn và tập đích không nhất thiết phải là tập số thực hay tập con của tập số thực mà hoàn toàn có thể là tập hợp của các vector, hàm giải tích, biến ngẫu nhiên, ... Nói cách khác, một ánh xạ biểu hiện một quy tắc hay thao tác biến đổi toán học nhất định từ một phần tử trên một không gian (tập hợp) sang đúng một phần tử (thường được gọi là tạo ảnh) trên không gian (tập hợp) thứ hai. Các ánh xạ có thể là toàn ánh, đơn ánh hoặc song ánh phụ thuộc vào tính chất của tạo ảnh trên tập hợp thứ hai, và có thể được thể hiện bởi các toán tử, ký hiệu toán học hoặc các phép toán từ sơ cấp tới cao cấp. Chẳng hạn, phép biến đổi Laplace là một ánh xạ từ tập chứa các hàm trên miền thời gian sang tập chứa các hàm trên miền tần số phức thông qua một phép biến đổi bằng tích phân. Hay một ma trận thường được sử dụng để thể hiện một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian Euclide.

Ánh Xạ
Ánh xạ liên tục giữa hai topo

Khi hai tập hợp là hai tập số thực hoặc tập con của số thực, ánh xạ giữa hai tập này thường được gọi là hàm số. Điều đó có nghĩa là hàm số được coi như một trường hợp đặc biệt của ánh xạ.

Định nghĩa toán học Ánh Xạ

Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu Ánh Xạ ) là một quy tắc cho mỗi phần tử x Ánh Xạ  X tương ứng với một phần tử xác định y Ánh Xạ  Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu Ánh Xạ , nghĩa là Ánh Xạ .

Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.

Với mỗi Ánh Xạ , tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu là Ánh Xạ . Ta cóÁnh Xạ .

Với mỗi tập con Ánh Xạ , tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của Ánh Xạ  qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f(A). Ta cóÁnh Xạ .

Với mỗi tập con Ánh Xạ , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh Ánh Xạ  được gọi là tạo ảnh của tập B ký hiệu là Ánh Xạ . Ta cóÁnh Xạ .

Trong tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng có thể định nghĩa:

    Một ánh xạ Ánh Xạ  từ tập X vào tập Y là một quan hệ Ánh Xạ  từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử Ánh Xạ  đều có quan hệ Ánh Xạ  với một và chỉ một phần tử Ánh Xạ .

Vài tính chất cơ bản Ánh Xạ

    Ánh Xạ 
  • Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
    Ánh Xạ Ánh Xạ 
  • Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
    Ánh Xạ 
  • Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
    Ánh Xạ 

Toàn ánh, đơn ánh và song ánh Ánh Xạ

Ánh Xạ 
  • Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y
      Ánh Xạ 
    hay
      Ánh Xạ 
  • Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y. Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.
    Ánh Xạ 
    hay
    Ánh Xạ 
  • Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" (từ X lên Y).

Một số ánh xạ đặc biệt Ánh Xạ

  • Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x Ánh Xạ  X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất Ánh Xạ  Ánh Xạ  Y.
  • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.
  • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con Ánh Xạ  vào Y cho f(x)= x với mọi Ánh Xạ  (cũng được gọi là đơn ánh chính tắc). Khi đó ta ký hiệu f: X Ánh Xạ  Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu Ánh Xạ  là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con Ánh Xạ , f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con Ánh Xạ  bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.

Các phép toán Ánh Xạ

Ánh xạ hợp

Cho hai ánh xạ Ánh Xạ Ánh Xạ . Hợp của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là Ánh Xạ  là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức Ánh Xạ  (cũng được gọi là tích ánh xạ của f và g).

Một số tính chất của ánh xạ hợp

  • Nếu Ánh Xạ  là đơn ánh thì f là đơn ánh.
  • Nếu Ánh Xạ  là toàn ánh thì g là toàn ánh.
  • Nếu Ánh Xạ  là song ánh thì f và g đều là song ánh.

Ánh xạ nghịch đảo

Cho ánh xạ Ánh Xạ là song ánh. Nếu tồn tại ánh xạ Ánh Xạ  sao cho

Ánh Xạ 

Ánh Xạ 

thì g được gọi là nghịch đảo, hay ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là Ánh Xạ .

Ánh xạ f có nghịch đảo khi và chỉ khi f là song ánh.

Ánh xạ thu hẹp

Cho ánh xạ Ánh Xạ  và một tập con Ánh Xạ . Ánh xạ thu hẹp của Ánh Xạ  về Ánh Xạ  là một ánh xạ từ Ánh Xạ  vào Ánh Xạ , ký hiệu Ánh Xạ , xác định bởi đẳng thức Ánh Xạ . Ánh xạ thu hẹp là duy nhất.

Ánh xạ mở rộng

Cho ánh xạ Ánh Xạ  và một tập hợp Ánh Xạ  sao cho Ánh Xạ . Một ánh xạ mở rộng của Ánh Xạ  tới Ánh Xạ  là một ánh xạ Ánh Xạ  từ Ánh Xạ  vào Ánh Xạ  sao cho Ánh Xạ . Nói chung, với mỗi ánh xạ đã cho, có nhiều ánh xạ mở rộng khả dĩ.

Các khái niệm ánh xạ khác (dịch từ tiếng Anh) Ánh Xạ

  • Ánh xạ xạ ảnh
  • Canonical map Ánh xạ chính tắc
  • Classifying map Ánh xạ phân loại
  • Ánh xạ bảo giác: ánh xạ bảo toàn độ lớn của các góc, nghĩa là góc giữa các tiếp tuyến với hai đường cong bất kì (tại giao điểm của chúng) bằng góc giữa các tiếp tuyến với các ảnh của hai đường đó (tại giao điểm tương ứng). Một hàm song chỉnh hình là một ánh xạ bảo giác.
  • Ánh xạ không đổi
  • Ánh xạ tiếp lên
  • Ánh xạ liên tục:
    • Ánh xạ f từ x0 Ánh Xạ  X lên Y sao cho với mỗi lân cận W của f(x0) đều tồn tại lân cận V của x0 trong X (V Ánh Xạ  X) sao cho f(V) Ánh Xạ  W được gọi là ánh xạ liên tục tại x0 lên Y
    • Ánh xạ Y = f(X) được gọi là ánh xạ liên tục từ X vào Y nếu nó liên tục với mọi x Ánh Xạ  X
  • Ánh xạ đồng phôi: f:X→Y là ánh xạ song ánh, liên tục và ánh xạ ngược Ánh Xạ  cũng liên tục. Khi đó X và Y được gọi là hai không gian, hai tập hợp đồng phôi hay tương đương tô pô
  • Contour map Phương ánh các đường nằm ngang
  • Contraction mapping ánh xạ co là ánh xạ của không gian mêtric vào chính nó, sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì bị giảm đi qua ánh xạ đó. Người ta chứng minh rằng, nếu không gian mêtric là đủ thì mỗi ánh xạ co bao giờ cũng có một và chỉ một điểm bất động x, tức là F(x) = x
  • Equivariant map Ánh xạ đẳng biến
  • Evaluation map Ánh xạ định giá
  • Excission map Ánh xạ cắt
  • Fibre map Ánh xạ phân thớ, ánh xạ các không gian phân thớ
  • Identification map Ánh xạ đồng nhất hoá
  • Inclusion map Ánh xạ nhúng chìm
  • Interior map Ánh xạ trong
  • Involutory map Ánh xạ đối hợp
  • Light map Ánh xạ chuẩn gián đoạn (khắp nơi có các điểm gián đoạn)
  • Lowering map Ánh xạ hạ thấp
  • Regular map Ánh xạ chính quy
  • Simplicial map Ánh xạ đơn hình
  • Tensor map Ánh xạ tenxơ
  • Affine mapping Ánh xạ afin
  • Analytic mapping Ánh xạ giải tích
  • Bicontinuous mapping Ánh xạ song liên tục
  • Chain mapping Ánh xạ chuỗi, ánh xạ dây chuyền
  • Closed mapping Ánh xạ đóng: f:X→Y được gọi là ánh xạ đóng nếu với mọi tập A đóng Ánh Xạ  X đều có f(A) là tập đóng trong Y
  • Open mapping Ánh xạ mở: f:X→Y được gọi là ánh xạ mở nếu với mọi tập A mở Ánh Xạ  X đều có f(A) là tập mở trong Y
  • Diferentiable mapping Ánh xạ khả vi
  • Epimorphic mapping Ánh xạ toàn hình
  • Homomorphous mapping Ánh xạ đồng cấu
  • Homotopic mapping Ánh xạ đồng luân
  • Ánh xạ đẳng cự
  • Isotonic mapping Ánh xạ bảo toàn thứ tự
  • Ánh xạ tuyến tính
  • Meromorphic mapping Ánh xạ phân hình
  • Monomorphic mapping Ánh xạ đơn cấu
  • Monotone mapping Ánh xạ đơn điệu
  • Non-alternating mapping Ánh xạ không thay phiên
  • Norm-preserving mapping Ánh xạ bảo toàn chuẩn
  • One-to-one mapping Ánh xạ một-một, hai chiều, (song ánh)
  • Perturbation mapping Ánh xạ lệch
  • Preclosed mapping Ánh xạ tiền đóng
  • Pseudoconformal mapping Ánh xạ giả bảo giác
  • Quasi-conformal mapping Ánh xạ tựa bảo giác
  • Quasi-open mapping Ánh xạ tựa mở
  • Rational mapping Ánh xạ hữu tỷ
  • Sense-preserving mapping Ánh xạ bảo toàn chiều
  • Slit mapping Ánh xạ lên miền có lát cắt trong
  • Starlike mapping Ánh xạ hình sao
  • Symplectic mapping Ánh xạ đối ngẫu ximplectic
  • Topological mapping Ánh xạ tô pô
  • Univalent mapping Ánh xạ đơn diệp

Xem thêm

Ghi chú

Liên kết ngoài

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê

Tags:

Định nghĩa toán học Ánh XạVài tính chất cơ bản Ánh XạToàn ánh, đơn ánh và song ánh Ánh XạMột số ánh xạ đặc biệt Ánh XạCác phép toán Ánh XạCác khái niệm ánh xạ khác (dịch từ tiếng Anh) Ánh XạÁnh XạBiến ngẫu nhiênBiến đổi LaplaceBiến đổi tuyến tínhHàm giải tíchKhông gian EuclideMa trận (toán học)Quan hệ hai ngôiSong ánhTiếng AnhToàn ánhToán họcToán tửTích phânTập hợp (toán học)VectorĐơn ánh

🔥 Trending searches on Wiki Tiếng Việt:

Hòa BìnhGiải vô địch bóng đá châu Âu 2024Ngô Xuân LịchYouTubeBinh chủng Công binh, Quân đội nhân dân Việt NamSamsungVinamilkĐộ RichterHồi giáoNguyễn Thanh NghịChủ nghĩa cộng sảnOne PieceNgô Đình DiệmMắt biếc (tiểu thuyết)Nhà ThanhGiỗ Tổ Hùng VươngNgaMyanmarQuân chủng Phòng không – Không quân, Quân đội nhân dân Việt NamHà GiangĐài Truyền hình Kỹ thuật số VTCPhan Châu TrinhLão HạcVịnh Hạ LongVõ Nguyên GiápNguyễn Đình ThiMạch nối tiếp và song songDanh sách nhân vật trong One PieceVladimir Ilyich LeninBan Bí thư Trung ương Đảng Cộng sản Việt NamPhó Chủ tịch nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt NamLâm ĐồngĐinh Thế HuynhVũ Cát TườngDãy FibonacciViệt Nam Dân chủ Cộng hòaNguyễn Trọng NghĩaHạnh phúcĐại dịch COVID-19 tại Việt NamLê Đại HànhTiến quân caDanh sách quốc gia xã hội chủ nghĩaChủ nghĩa khắc kỷChiến dịch Linebacker IIDanh sách tỷ phú thế giớiVăn hóa Việt NamPhật giáo Hòa HảoBộ luật Hồng ĐứcDuyên hải Nam Trung BộThành phố trực thuộc trung ương (Việt Nam)Tiệc trăng máuPhan Đình TrạcCách mạng Tháng TámĐặng Thị Ngọc ThịnhLiếm âm hộNelson MandelaTrái ĐấtNguyễn Vân ChiTư tưởng Hồ Chí MinhTập Cận BìnhHương TràmLiên Hợp QuốcViệt NamTứ diệu đếSóc TrăngQuảng NinhChuyển động của Trái Đất quanh Mặt TrờiĐinh Văn NơiPhù NamMai Hắc ĐếBi da ba băngCampuchiaWilliam ShakespeareChóDanh sách Tổng thống Hoa KỳArsenal F.C.Bảo Đại🡆 More