Площа Поверхні

Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.

Якщо поверхню параметризовано, тобто, задано векторною функцією ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)}$ , тоді площа ${\displaystyle S}$ , поверхні ${\displaystyle (u,v)\in \Omega }$ , обчислюється за формулою:

${\displaystyle S=\iint \limits _{\Omega }|r_{u}\times r_{v}|dudv}$ ,

де ${\displaystyle r_{u}={\frac {\partial r}{\partial u}}}$  та ${\displaystyle r_{v}={\frac {\partial r}{\partial v}}}$  — дотичні вектори, ${\displaystyle r_{u}\times r_{v}}$  — векторний добуток двох векторів.

Інший вигляд площі параметрично заданої поверхні:

${\displaystyle S=\iint \limits _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\,dudv}$ ,

де ${\displaystyle E,F,G}$  — коефіцієнти першої квадратичної форми, ${\displaystyle E=\left(r_{u},r_{u}\right),G=\left(r_{v},r_{v}\right),F=\left(r_{u},r_{v}\right)}$ .

Якщо поверхню ${\displaystyle \Omega }$  задано функцією ${\displaystyle z=z(x,y)}$  над деякою областю ${\displaystyle (x,y)\in \Omega '}$  (або ${\displaystyle \Omega '}$  є проєкцією поверхні ${\displaystyle \Omega }$  на площину ${\displaystyle xOy}$ ), тоді

${\displaystyle S=\iint \limits _{\Omega }d\Omega =\iint \limits _{\Omega '}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,dxdy.}$ 

• Об'єм
• Парадокс маляра
• Площа
• Поверхневий інтеграл
• Поверхня обертання

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.