Метод вичерпування (лат.
Ідею методу, в не дуже ясних формулюваннях, висловив ще Антіфон, а розробку і застосування здійснив Евдокс Кнідський. Обґрунтування цього методу не спирається на поняття нескінченно малих величин, але неявно включає поняття границі. Назву «метод вичерпування» запропонував у 1647 році Грегуар де Сен-Венсан, в античні часи у методу не було спеціальної назви.
Метод полягав в наступному: для знаходження площі (або об'єму) деякої фігури в цю фігуру вписувалася монотонна послідовність інших фігур і доводилося, що їх площі (об'єми) необмежено наближаються до площі (об'єму) шуканої фігури. Потім обчислювалася границя послідовності площ (об'ємів), для чого висувалася гіпотеза, що вона дорівнює деякому A і доводилося, що зворотне призводить до протиріччя. Оскільки загальної теорії границь не було (греки уникали поняття нескінченності), всі ці кроки, включаючи обґрунтування єдиності границь, повторювалися для кожного завдання.
У такій формі метод вичерпування добре вписувався в строго дедуктивну побудову античної математики, проте мав декілька суттєвих недоліків. По-перше, він був винятково громіздким. По-друге, не було ніякого загального методу для обчислення граничного значення A; Архімед, наприклад, нерідко виводив його з механічного розуміння або просто інтуїтивно вгадував. Урешті, цей метод не придатний для знаходження площ нескінченних фігур.
Теоретична основа методу вичерпування Евдокса викладена в книзі X «Начал» Евкліда. Там формулюється основна лема:
Пропозиція 1. Для двох заданих нерівних величин, якщо від більшої віднімається більше половини і від залишку більше половини, і це робиться постійно, то залишиться певна величина, яка буде менше заданої меншої величини.
Це одна з небагатьох теорем загальної теорії границь, наведена у античних авторів. У X столітті Сабіт ібн Курра запропонував узагальнення даної леми, замінивши «половину» на «будь-яку частину».
За допомогою методу вичерпування Евдокс строго довів ряд вже відомих в ті роки відкриттів (площа кола, об'єм піраміди і конуса). Евклід у своїх «Началах» використовував метод вичерпування для доведення 6 теорем 12-й книги:
Найбільш плідним метод вичерпування став в руках видатного послідовника Евдокса, Архімеда, який зміг його значно удосконалити і віртуозно застосовував для багатьох нових відкриттів. Зокрема, він виявив:
В Середні віки європейські математики також застосовували метод вичерпування, поки він не був витіснений спочатку більш потужним і технологічним методом неподільних, а потім — математичним аналізом.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
This article uses material from the Wikipedia Українська article Метод вичерпування, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Вміст доступний на умовах CC BY-SA 4.0, якщо не вказано інше. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Українська (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.