Інтеграл вздовж траєкторій — математичний оператор, який використовується у Фейнмановому формулюванні квантової механіки.
Формальне визначення інтегралу вздовж траєкторій дається формулою
де , — множина всіх траєкторій, які сполучають початкову точку та кінцеву точку , m — маса квантової частинки, — зведена стала Планка.
Постулатом Фейманового формулювання квантової механіки є те, що пропагатор задається інтегралом вздовж траєкторій:
де — класична дія.
На відміну від звичайного інтеграла, в якому підсумовуються значення функції на відрізку, в інтегралі вздовж траєкторій підсумовуються значення функції вздовж усіх можливих кривих, які сполучають початкову й кінцеву точку. В рамках Фейнманового формулювання квантової механіки такий інтеграл визначає амплітуду ймовірності того, що квантова частинка переміститься з початкової точки в кінцеву.
Якщо в класичній механіці реалізується та з траєкторій, якій відповідає найменше значення дії, то в квантовій механіці свій вклад в ймовірність переходу частинки з однієї точки в іншу вносять усі можливі криві, які сполучають ці точки. Оскільки в квантовій механіці визначається не ймовірність переходу, а амплітуда ймовірності, то внески різних траєкторій інтерферують.
Квантову механіку можна сформулювати через інтеграли вздовж траєкторій, використовуючи також канонічні змінні — координату та імпульс. Пропагатор частинки задається при такому підході через співвідношення:
де — функція Гамільтона.
Інтегрування проводиться вздовж усіх траєкторій у фазовому просторі із фіксованим значенням координати в початковій та кінцевій точках.
В квантовій статистичній механіці зележна від температури матриця густини задовольняє рівнянню
де , — стала Больцмана.
Формальний розв'язок цього рівняння
Статистична сума дорівнює сліду від матриці густини
Вводячи умовний «час» , де — зведена стала Планка, і розбиваючи інтервал [0, U] на дрібні інтервали, можна записати
розглядаючи всі можливі траєкторії, якими система може переміститися з початкового стану при нескінченно високій температурі в кінцевий стан при температурі, що визначається значенням U.
Формулювання квантової механіки через інтеграли вздовж траєкторій розробив у 1948 році Річард Фейнман.
Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
This article uses material from the Wikipedia Українська article Інтеграл вздовж траєкторій, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Вміст доступний на умовах CC BY-SA 4.0, якщо не вказано інше. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Українська (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.