รากฐานของคณิตศาสตร์

ในมุมมองเชิงปรัชญา รากฐานของคณิตศาสตร์ค้นหาทฤษฎีหรือข้อสมมติทางปรัชญาที่ใช้อธิบายธรรมชาติของคณิตศาสตร์ ในมุมมองนี้ ความแตกต่างระหว่างรากฐานของคณิตศาสตร์และปรัชญาของคณิตศาสตร์ค่อนข้างคลุมเครือ การค้นหารากฐานของคณิตศาสตร์เป็นคำถามหลักของปรัชญาคณิตศาสตร์ ยิ่งไปกว่านั้น ธรรมชาติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมกลายเป็นประเด็นสำคัญในปรัชญาของคณิตศาสตร์ การศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะศึกษารากฐานของทุกหัวข้อในคณิตศาสตร์ เราสนใจเพียงแต่แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์เท่านั้น ตลอดจนความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดพื้นฐานเหล่านั้น

คณิตศาสตร์มีบทบาทพิเศษในความคิดทางวิทยาศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ เพราะคณิตศาสตร์เป็นต้นแบบของการค้นหาความจริงอย่างมีเหตุผลและรัดกุม คณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือสำหรับวิทยาศาสตร์สาขาอื่น ๆ หรือแม้แต่เป็นพื้นฐานสำหรับวิทยาศาสตร์สาขานั้น (โดยเฉพาะฟิสิกส์) เมื่อคณิตศาสตร์พัฒนาไปในรูปแบบที่เป็นนามธรรมมากขึ้นในศตวรรษที่ 19 ส่งผลให้เกิดปัญหาและปฏิทรรศน์ใหม่ ๆ ตามมา ปัญหาและปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้น กระตุ้นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาให้ค้นหาความจริงทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบมากขึ้น ตลอดจนพยายามรวมสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันเป็นอันหนึ่งอันเดียว

การค้นหารากฐานของคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบเริ่มต้นขึ้นเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 ทำให้เกิดสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์คือ คณิตตรรกศาสตร์ ในภายหลังคณิตตรรกศาสตร์จะมีส่วนเชื่อมโยงอย่างมากกับวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ตกอยู่ในวิกฤตการณ์หลายครั้งเพราะผลลัพธ์จำนวนมากที่พิสูจน์ได้จากรากฐานของคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะขัดแย้งในตัวมันเอง การค้นพบเหล่านั้นปัจจุบันกลายเป็นความรู้พื้นฐาน และนำไปสู่สาขาย่อยของคณิตศาสตร์จำนวนมาก เช่น ทฤษฎีเซต ทฤษฎีโมเดล ทฤษฎีการพิสูจน์ ยังมีการศึกษาหัวข้อเหล่านี้จนถึงปัจจุบัน

วิกฤตการณ์ทางรากฐานของคณิตศาสตร์ (มาจากภาษาเยอรมัน : Grundlagenkrise der Mathematik) เป็นชื่อในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ที่ใช้เรียกการค้นหารากฐานที่เหมาะสมของคณิตศาสตร์

กลุ่มบูร์บากีซึ่งเป็นกลุ่มรวมนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ได้เริ่มจัดพิมพ์หนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับสาขาต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ โดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อวางรากฐานของคณิตศาสตร์สาขาเหล่านั้นบนรากฐานทางทฤษฎีเซตที่เพิ่งค้นพบใหม่

ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ได้ทำงานจากระบบสัจพจน์โดยตรง แต่ถ้าหากต้องใช้ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้ระบบสัจพจน์ ZFC และไม่สงสัยว่าระบบสัจพจน์ดังกล่าวจะจริงหรือไม่ ในคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ความไม่บริบูรณ์และปฏิทรรศน์ของทฤษฎีรูปนัยไม่มีผลต่อหัวข้อที่นักคณิตศาสตร์ศึกษา แต่ในบางสาขาของคณิตศาสตร์บางสาขาที่มีความเสี่ยงจะสร้างทฤษฎีที่ขัดแย้งกันเอง (เช่น ตรรกวิทยาและทฤษฎีแคทิกอรี) อาจจะต้องใช้ความระมัดระวังเพิ่มเติม

ความก้าวหน้าทางทฤษฎีแคทิกอรีในกลางศตวรรษที่ 20 ชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีเซตอื่น ๆ ที่ยอมให้มีชั้นมากกว่าที่ ZFC ยอมรับก็เป็นประโยชน์ในการศึกษาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างทฤษฎีเซตที่มียอมรับชั้นมากกว่า ZFC เช่น ทฤษฎีเซตฟอนนอยมันน์-แบร์ไนส์-เกอเดิล หรือ ทฤษฎีเซตทาร์สกี-โกรเธนดีก แม้ว่าในหลาย ๆ กรณี การใช้สัจพจน์คาร์ดินัลขนาดใหญ่หรือจักรวาลโกรเธนดีกนั้นจะไม่จำเป็นก็ตามที

เป้าหมายอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์ผันกลับ คือการค้นหาว่ามี "คณิตศาสตร์ด้านหลัก" ด้านใดบ้าง ที่อาจทำให้เกิดวิกฤติการณ์ทางรากฐานขึ้นอีกครั้ง

• คณิตตรรกศาสตร์
• การโต้เถียงระหว่างเบราวเวอร์และฮิลแบร์ท
• ข้อปัญหาของเชิร์ช-ทัวริง
• ญาณวิทยา
• ยุคลิด
• ปัญหาของฮิลเบิร์ต
• ปฏิทรรศน์คนโกหก
• New Foundations
• ปรัชญาคณิตศาสตร์
• Principia Mathematica