ทฤษฎีสนามควอนตัม

ในทฤษฎีสนามควอนตัม อนุภาคถูกมองว่าเป็นการกระตุ้นของสนาม สนามเหล่านี้จะกระจายอยู่ทั่วจักรวาล ตัวอย่างเช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้าสัมพันธ์กับอนุภาคโฟตอน อันตรกิริยาระหว่างอนุภาคอธิบายได้ด้วยการแลกเปลี่ยนอนุภาคที่เรียกว่าอนุภาคสื่อนำแรงหรืออนุภาคโบซอน การแลกเปลี่ยนอนุภาคนี้เป็นสิ่งที่ทำโดยแรงพื้นฐานในธรรมชาติ

หนึ่งในความสำเร็จของของทฤษฎีสนามควอนตัวคือแบบจำลองมาตรฐานของอนุภาค ซึ่งอธิบายอันตรกิริยาแม่เหล็กไฟฟ้า อันตรกิริยาอย่างอ่อนและอันตรกิริยาอย่างเข้ม การมีอยู่ของอนุภาคฮิกส์ได้ถูกนำทายโดยแบบจำลองมาตรฐานและถูกค้นพบในปี ค.ศ. 2012 อนุภาคฮิกส์ได้ทำหน้าที่ให้มวลแก่อนุภาคอื่น

ทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นความสำเร็จครั้งยิ่งใหญ่ในวิชาฟิสิกส๋ที่พัฒนาจากความร่วมมือของนักฟิสิกส์หลายคนตลอดช่วงศตวรรษที่ 20 ต้นกำเนิดของทฤษฎีสนามควอนตัมต้องย้อนกลับไปในช่วงทศวรรษ 1920 โดยเริ่มต้นจากคำอธิบายเชิงทฤษฎีว่าแสงมีอันตรกิริยาต่ออิเล็กตรอนอย่างไร ซึ่งนำไปสู่การกำเนิดของทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม (Quantum Electrodynamics) ซึ่งเป็นรูปแบบแรกของทฤษฎีสนามควอนตัม อย่างไรก็ตามทฤษฎีนี้ก็ต้องเผชิญกับความท้าทายครั้งสำคัญคือการจัดการกับการคำนวณค่าอนันต์ ปัญหานี้ถูกก้าวข้ามได้สำเร็จในทศวรรษ 1950 ด้วยการใช้เทคนิครีนอร์มัลไลเซชัน (Renomalization) อุปสรรคต่อมาของทฤษฎีสนามควอนตัมคือการที่ไม่สามารถอธิบายอันตรกิริยาอย่างอ่อนและเข้มให้ได้อย่างชัดเจน จนถึงขั้นที่นักฟิสิกส์เลือกที่จะละทิ้งทฤษฎีสนาม แต่การพัฒนาของทฤษฎีเกจและความสมบูรณ์ของแบบจำลองมาตรฐานในทศวรรษ 1970 ได้นำไปสู่ยุคเรอแนซ็องส์ของทฤษฎีสนามควอนตัม

พื้นฐานเชิงทฤษฎี

ความสำเร็จของทฤษฎีสนามแบบฉบับมีต้นกำเนิดมาจากกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน ถึงแม้ว่าแนวคิดของสนามจะไม่ได้ปรากฎในบทความ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ของเขาก็ตาม แรงโน้มถ่วงในมุมมองของนิวตันจะส่งผลไปยังทุกบริเวณในจักรวาลแบบทันทีทันใดโดยไม่สนใจระยะทาง อย่างไรก็ตามนิวตันและริชาร์ด เบนต์ลีย์ได้สนทนาแลกเปลี่ยนกันผ่านจดหมาย โดยนิวตันได้ระบุว่า "มันไม่น่าจะเป็นไปได้ที่วัตถุจะส่งแรงถึงกันได้โดยปราศจากการสัมผัสซึ่งกันและกัน" จนกระทั่งในศตวรรษที่ 18 นักฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ได้ค้นพบคำอธิบายแรงโน้มถ่วงโดยใช้แนวคิดของสนามซึ่งมีความสะดวกมากขึ้น โดยสนามเป็นปริมาณที่มีค่าเป็นตัวเลขสำหรับทุกบริเวณ แต่อย่างไรก็ตามหลักการนี้ยังเป็นเพียงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ยังไม่สามารถวัดออกมาได้ในทางฟิสิกส์

นักฟิสิกส์เริ่มระแคะระคายการมีอยู่ของสนามเมื่อมีการพัฒนาทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าขึ้นในศตวรรษที่ 19 ไมเคิล ฟาราเดย์เป็นผู้บัญญัติศัพท์ภาษาอังกฤษว่า "Field (สนาม)" ขึ้นในปี ค.ศ. 1845 ฟาราเดย์นำเสนอว่าสนามเป็นคุณสมบัติของอวกาศ (ถึงแม้ว่าจะไม่มีสสารอยู่ในบริเวณนั้น) ฟาราเดย์ยังได้โต้แย้งเรื่องแนวคิดการส่งผ่านแรงระหว่างวัตถุโดยไม่มีการสัมผัสของนิวตัน ด้วยคำแถลงว่าอันตรกิริยาระหว่างวัตถุเกิดขึ้นเพราะมีเส้นแรง เหมือนกับเส้นแรงแม่เหล็ก

ชุดสมการของแม็กซ์เวลล์ได้ทำให้ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าสมบูรณ์ในปี ค.ศ. 1864 ชุดสมการดังกล่าวได้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก กระแสไฟฟ้าและประจุไฟฟ้า ชุดสมการของแม็กซ์เวลล์ได้บอกถึงการมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กมีการแผ่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งด้วยความเร็วค่าหนึ่ง ซึ่งกลายเป็นความเร็วของแสงในเวลาต่อมา

ถึงแม้ว่าทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าแบบฉบับจะประสบความสำเร็จเพียงใด แต่ทฤษฎีนี้ก็ไม่สามารถอธิบายความไม่ต่อเนื่องของสเปกตรัมของอะตอมได้ รวมไปถึงการแผ่รังสีของวัตถุดำที่ความยาวคลื่นต่าง ๆ การศึกษาการแผ่รังสีของวัตถุดำของมักซ์ พลังก์เป็นจุดเริ่มต้นของกลศาสตร์ควอนตัม พลังก์มองว่าอะตอมที่ดูดกลืนและปลดปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นเหมือนกับตัวสั่นขนาดเล็กที่มีค่าความถี่ของการสั่นเป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่อง ตัวสั่นนี้เป็นที่รู้จักในชื่อตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิกเชิงควอนตัม (Quantum Harmonic Oscillator) ในมุมมองนี้ค่าพลังงานจะถูกทำให้เป็นควอนตัมโดยมีค่าไม่ต่อเนื่องแทนที่จะเป็นค่าต่อเนื่อง สิ่งนี้ทำให้อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์นำเสนอคำอธิบายของปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกที่แสงถูกพิจารณาว่าเป็นกลุ่มก้อนของพลังงานที่เรียกว่าโฟตอน (ควอนตัมของแสง) สิ่งนี้ชี้ให้เราเห็นว่าการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีพฤติกรรมแบบคลื่นในทฤษฎีดั้งเดิม ยังมีพฤติกรรมแบบอนุภาคด้วย

ในปี ค.ศ. 1913 นิลส์ โปร์นำเสนอแบบจำลองอะตอมของโปร์ ที่อิเล็กตรอนภายในอะตอมถูกทำให้เป็นควอนตัมแล้วมีค่าระดับชั้นพลังงานเป็นค่าไม่ต่อเนื่อง แบบจำลองอะตอมของโปร์ประสบความสำเร็จในการอธิบายความไม่ต่อเนื่องของสเปกตรัมการแผ่รังสีของอะตอม ในปี ค.ศ. 1924 หลุยส์ เดอ บรอยนำเสนอทวิภาคคลื่นอนุภาคที่อนุภาคในระดับจุลภาคจะประพฤติตัวเป็นทั้งคลื่นและอนุภาคต่างกันไปในแต่ละสถานการณ์ ในช่วงปี ค.ศ. 1925-1926 กลศาสตร์ควอนตัมได้ถูกสร้างขึ้นมาจากการรวบรวมแนวคิดเหล่านี้เข้าด้วยกัน

ในปีเดียวกันกับที่ไอน์สไตน์นำเสนอปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก ไอน์สไตน์ยังได้นำเสนอทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดยสร้างขึ้นมาจากทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ การแปลงลอเรนซ์ได้ถูกนำมาใช้ในการอธิบายวิธีการในการแปลงพิกัดของกาลอวกาศระหว่างสองผู้สังเกตที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน การแปลงรอเลนซ์ยังได้อธิบายอีกว่ากฎทางฟิสิกส์จะต้องเหมือนกันสำหรับทุกผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ภายใต้กรอบอ้างอิงเฉื่อย กล่าวคือกฎทางฟิสิกส์ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงลอเรนซ์

แต่ยังคงมีความยากลำบากอยู่อีกสองข้อ ในทางการทดลองสมการชโรดิงเจอร์ที่เป็นรากฐานของกลศาสตร์ควอนตัมสามารถอธิบายการปลดปล่อยรังสีจากอะตอมได้ โดยที่อิเล็กตรอนจะคายโฟตอนออกมาเมื่อได้รับผลกระทบจากสนามแม่เหล็กภายนอก แต่สมการชโรดิงเจอร์ไม่สามารถอธิบายการปลดปล่อยที่เกิดขึ้นเองได้ โดยอิเล็กตรอนจะมีพลังงานลดลง จากนั้นคายโฟตอนออกมาได้โดยไม่ต้องมีผลของสนามแม่เหล็กภายนอก ขณะที่ในทางทฤษฎีสมการชโรดิงเจอร์ไม่ได้อยู่ในรูปแบบของสัมพัทธภาพพิเศษที่มองว่าเวลาเป็นพิกัดในกาลอวกาศ

พลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม

ทฤษฎีสนามควอนตัมได้เริ่มต้นจากการศึกษาอันตรกิริิยาแม่เหล็กไฟฟ้า เนื่องจากว่าแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นเพียงสองสนามที่คนรู้จักกันในช่วงทศวรรษ 1920 จากงานของบอร์น ไฮเซนแบร์ก ปาสกวอล จอร์แดนในปี ค.ศ. 1925-1926 สนามควอนตัมได้ถูกพัฒนาขึ้นมาด้วยการทำให้สนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นควอนตัม โดยการมองว่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นการสั่นของตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิกเชิงควอนตัม แต่ยังไม่ได้พิจารณาอันตรกิริยาของสนามต่อสสาร อย่างไรก็ตามทฤษฎีสนามควอนตัมนี้ยังไม่ให้ผลที่สอดคล้องกับโลกแห่งความเป็นจริง

ในปี 1927 ดิแรกได้บัญญัติศัพท์คำว่า "Quantum Electrodynamics (พลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัม)" ขึ้นมาในบทความ "The quantum theory of the emission and absorption of radiation" ในทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัมได้มีการเพิ่มพจน์ที่อธิบายสนามแม่เหล็กไฟฟ้าอิสระที่เป็นอันตรกิริยาเพิ่มเติมระหว่างความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าและศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้าเข้าไปด้วย ดิแรกประสบความสำเร็จในการอธิบายปรากฏการณ์การปลดปล่อยรังสีได้เองด้วยการใช้ทฤษฎีการรบกวน (Perturbation theory) จากหลักความไม่แน่นอนในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิกเชิงควอนตัมจะไม่สามารถอยู่ในสถานการณ์ที่หยุดนิ่งได้ เพราะมันจะมีค่าพลังงานต่ำสุดที่ไม่เป็นศูนย์และมีการสั่นอยู่ตลอดเวลาแม้จะอยู่ในสถานะพื้น ดังนั้นแม้ในสุญญากาศสมบูรณ์ สนามแม่เหล็กไฟฟ้าก็จะยังคงสั่นด้วยพลังงานที่ต่ำที่สุด (Zero-point energy) นี่คือความผันผวนทางควอนตัม (Quantum fluctuation) ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศที่กระตุ้นให้อิเล็กตรอนในอะตอมมีการคายพลังงานออกมาได้เอง ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตัมของดิแรกประสบความสำเร็จอย่างมากในการอธิบายทั้งการดูดกลืนและการปลดปล่อยพลังงานของอะตอม ซึ่งสามารถอธิบายการกระเจิงของโฟตอน การเรืองแสงด้วยการสั่นพ้อง และการกระเจิงของคอมป์ตันในขอบเขตล่างของสัมพัทธภาพด้วยการใช้ทฤษฎีการรบกวนลำดับที่สอง อย่างไรก็ตาม นักฟิสิกส์ยังคงพบปัญหาในการจัดการค่าอนันต์จากการใช้ทฤษฎีการรบกวนในอันดับที่สูงขึ้น

ในปี 1928 ดิแรกได้นำเสนอสมการของดิแรก (Dirac equation) ซึ่งเป็นสมการคลื่นที่ใช้ในการอธิบายอิเล็กตรอนที่รวมผลของสัมพัทธภาพ ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่สำคัญ เช่น อิเล็กตรอนมีสปิน 1/2 อิเล็กตรอนมีค่าตัวประกอบ g เป็น 2 เป็นต้น สิ่งเหล่านี้นำไปสู่การแก้ไขสูตรของซอมเมอร์เฟลด์สำหรับค่า Fine structure ของอะตอมไฮโดรเจนให้ถูกต้อง และยังสามารถใช้ในการพิสูจน์สูตรของไคลน์-นิชินะสำหรับการกระเจิงคอมป์ตันเชิงสัมพัทธภาพ ถึงแม้ว่าสมการดิแรกจะประสบความสำเร็จอย่างงดงาม แต่สิ่งนี้ได้บ่งบอกเป็นนัยถึงการมีอยู่ของสถานะค่าพลังงานติดลบซึ่งจะทำให้อะตอมไม่มีความเสถียร เพราะไม่มีค่าพลังงานต่ำสุด อะตอมจะสลายตัวเรื่อย ๆ

สนามแบบฉบับ

สนามแบบฉบับเป็นฟังก์ชันของพิกัดอวกาศและเวลาและเป็นปริมาณที่มีค่าเป็นตัวเลขในทุกตำแหน่งและเวลา ดังนั้น สนามจึงมีจำนวนองศาอิสระเป็นอนันต์ เช่น สนามความโน้มถ่วงของนิวตัน ${\displaystyle {\vec {g}}({\vec {x}},t)}$  สนามไฟฟ้า ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {x}},t)}$  และสนามแม่เหล็ก ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {x}},t)}$ 

รูปแบบของสนามที่ง่ายที่สุดคือสนามสเกลาร์จำนวนจริง ซึ่งเป็นสนามที่มีค่าเป็นจำนวนจริงในทุกบริเวณและเปลี่ยนแปลงตามเวลา เราจะใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$  แทนสนาม เมื่อ ${\displaystyle {\vec {x}}}$  คือเวกเตอร์ตำแหน่งใน 3 มิติ และ ${\displaystyle t}$  คือเวลา ความหนาแน่นลากรานเจียน (Lagrangian density) สนามสเกลาร์จำนวนจริงถูกเขียนได้เป็น

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi )(\partial _{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}={\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$ 

เมื่อ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  คือความหนาแน่นลากรานเจียน ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$  คืออนุพันธ์เทียบกับเวลาของสนาม และ ${\displaystyle m}$  คือพารามิเตอร์จำนวนจริง (มวลของสนาม) สมการออยเลอร์-ลากร็องฌ์ (Euler-Lagrange equation) สำหรับสนามถูกเขียนได้เป็น

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}=0}$ 

เมื่อเราแทนค่าความหนาแน่นลากรานเจียนของสนามลงในสมการออยเลอร์-ลากร็องฌ์จะได้แต่ละพจน์เป็นดังนี้

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}&=-m^{2}\phi \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}&={\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\left({\frac {1}{2}}(\partial ^{\nu }\phi )(\partial _{\nu }\phi )\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial (\partial ^{\nu }\phi )}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}(\partial _{\nu }\phi )+(\partial ^{\nu }\phi ){\frac {\partial (\partial _{\nu }\phi )}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(g^{\nu \gamma }{\frac {\partial (\partial _{\gamma }\phi )}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}(\partial _{\nu }\phi )+(\partial ^{\nu }\phi )\delta _{\nu }^{\ \mu }\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(g^{\nu \gamma }\delta _{\gamma }^{\ \mu }(\partial _{\nu }\phi )+(\partial ^{\mu }\phi )\right)\\&=\partial ^{\mu }\phi \\\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}&=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi \end{aligned}}$ 

สมการการเคลื่อนที่ของสนามจึงเขียนได้เป็น

${\displaystyle \left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }-m^{2}\right)\phi =0}$ 

สมการนี้เป็นที่รู้จักในชื่อสมการไคลน์-กอร์ดอน (Klein-Gordon equation) พิจารณาการแปลงฟูเรียร์ของสนาม

${\displaystyle \phi ({\vec {x}})=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}{\tilde {\phi }}({\vec {p}})}$ 

จากสมการไคลน์-กอร์ดอน เราจะได้

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\vec {p}}+m^{2}\right)\phi ({\vec {x}})\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}{\tilde {\phi }}({\vec {p}})=0}$ 

การทำให้เป็นควอนตัม

• Ryder, L. Quantum Field Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1996.