Теорија Група Лагранжова Теорема

Ово се може показати коришћењем концепта левих косета од H у G. Леви косети су класе еквиваленције одређене релације еквиваленције на G и стога чине партицију G. Ако можемо да покажемо да сви косети од H имају исти број елемената, онда је доказ завршен, јер је само H косет од H. Сада, ако су aH и bH два лева косета од H, можемо да дефинишемо пресликавање f : aH → bH као f(x) = ba^-1x. Ово пресликавање је бијекција, јер је њен инверз f ^-1(y) = ab^-1y.

Овај доказ такође показује да је количник редова G| / |H| једнак индексу [G:H] (број левих косета од H у G). Ако запишемо ово тврђење као

G| = [G:H] · |H|,

затим га интерпретирамо као исказ о кардиналним бројевима, он остаје тачан, чак и за бесконачне групе G и H.

Последица ове теореме је да је ред било ког елемента a коначне групе (тј. најмањи позитиван цео број k такав да a^k = e) дели ред те групе, јер је ред од a једнак реду цикличне подгрупе генерисане са a. Ако група има n елемената следи

aⁿ = e.

Ово се може користити у доказу Мале Фермаове теореме и њене генерализације, Ојлерове теореме.

Обратно не важи у општем случају: ако је дата коначна група G и делилац d од |G|, не мора обавезно да постоји подгрупа од G реда d. Најмањи пример је алтернирајућа група G = A_{4 која има 12 елемената, али нема подгрупу реда 6. Међутим, ако је G Абелова група, тада увек постоји подгрупа реда d.}