У математици, неједнакост је исказ о релативној величини или реду два предмета, или о томе да ли они исти или нису (Такође погледајте: једнакост)
Ознака a < b значи да је aмање одb.
Ознака a > b значи да је aвеће одb.
Ознака a ≠ b значи да је aније једнако саb, али не говори да је једно веће од другог, или чак да се могу поредити по величини.
У свим овим случајевима, a није једнако са b, па постоји „неједнакост“.
Ове релације су познате као строге неједнакости
Ознака a ≤ b значи да је aмање или једнако саb (или, еквивалентно, не веће одb);
Ознака a ≥ b значи да је aвеће или једнако саb (или, еквивалентно, не мање одb);
Ако је смисао неједнакости исти за све вредности променљивих за које су чланови неједнакости дефинисани, тада се неједнакост назива „апсолутном“ или „безусловном“ неједнакошћу. Ако смисао неједнакости важи само са одређене вредности променљивих, али је супротна или се поништава за друге вредности тих променљивих, тада се то назива „условна неједнакост“.
У инжењерским наукама, мање формална употреба нотације је да се каже да је једна величина „много већа“ од друге, обично за неколико редова величине.
Ознака a ≪ b значи да је aмного мање од b.
Ознака a ≫ b значи да је aмного веће од b.
Ово имплицира да се мања вредност може занемарити са малим утицајем на тачност апроксимације (као што је случај ултрарелативистичке границе у физици).
У свим горе наведеним случајевима, било која два симбола која се огледају један у другом су симетрична; a < b и b > a су еквивалентна, итд.
Неједнакостима се манипулише следећи особине. Ваља имати у виду да је за особине транзитивности, преокрета, сабирања, одузимања, множења и дељења, особина, такође, важи и када се знаци строге неједнакости (< и >) замене њиховим одговарајућим нестрогим знаковима неједнакости (≤ и ≥).
Трихотомија
Особина трихотомије каже да је:
За све реалне бројеве, a и b, тачно једно, од следећег, је тачно:
Неједнакости између геометријске и хармонијске средине
Нека је a било која n-торка позитивних реалних бројева. Тада је
Доказ
Применом аритметичко геометријске неједнакости на бројеве , ... добија се
Једнакост вреди ако и само ако је
Неједнакост између аритметичке и квадратне средине
Нека је a било која n-торка позитивних реалних бројева. Тада је
Доказ
зна се да је
за
Изрази на обе стране су позитивни, добијена неједнакост се може кореновати чиме се долази до
Једнакост вреди ако и само ако је
Неједнакости степена
Понекад са ознаком „степена неједнакост“ подразумевају једнакости које садрже израз типа ab, где су a и b реални позитивни бројеви или изрази неких променљивих.
Примери
Ако је x > 0, тада је
Ако је x > 0, тада је
Ако је x, y, z > 0, тада је
За било која два различита број a и b,
Ако је x, y > 0 и 0 < p < 1, tada je
Ако је x, y, z > 0, тада је
Ако је a, b>0, тада је
Овај резултат уопштио је Р. Озолс 2002. године, када је доказано да ако је a1, ..., an > 0, тада је
(резултат је објављен у летонском научном часопису звездано небо; погледајте референце).
Комплексни бројеви и неједнакости
Скуп комплексних бројева са својим операцијама сабирања и множења је поље, али није могуће дефинисати ниједну релацију ≤ тако да постане уређено поље. Да би постало уређено поље, оно мора да задовољи следећа два услова:
ако је a ≤ b тада је a + c ≤ b + c
ако је 0 ≤ a и 0 ≤ b тада је 0 ≤ a b
Пошто је ≤ тотално уређење, за свако a, или је 0 ≤ a или је a ≤ 0 (у том случају прва особина имплицира да је 0 ≤ ). У оба случаја је 0 ≤ a2; ово значи да је и ; па је и , што значи да је , што је контрадикција.
Међутим, оператор ≤ се може дефинисати тако да задовољава први услов („ако је a ≤ b тада је a + c ≤ b + c“). Понекад се користи лексикографски поредак:
a ≤ b ако је < или ( и ≤ )
Може се лако доказати да за ову дефиницију a ≤ b имплицира a + c ≤ b + c.
Векторске неједнакости
Релације неједнакости сличне оним дефинисаним горе се могу такође дефинисати за вектор колону. Ако се узму вектори (што значи да је и где су и реални бројеви за ), могу се дефинисати следеће релације:
ако је за
ако је за
ако је за and
ако је за
Слично томе, могу се дефинисати релације за , , и .
Може се уочити да је особина трихотомије није валидна за векторске релације. Ако се размотри случај где је и , види се да не постоји валидан однос неједнакости између ова два вектора. Такође неопходно је да се дефинише мултипликативни инверз пре него што се овај услов размотри. Међутим, за остатак горе поменутих особина, постоји паралелна особина за векторске неједнакости.
Добро познате неједнакости
Математичари често користе неједнакости да ограниче величине за које се тачне формуле не могу израчунати лако. Неке неједнакости се користе тако често, да чак имају своје називе:
This article uses material from the Wikipedia Српски / Srpski article Неједнакост, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Садржај је доступан под лиценцом CC BY-SA 4.0 осим ако је другачије наведено. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Српски / Srpski (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.