Ligji I Gausit

Ky ligj është një nga katër ekuacionet e Maksuellit, të cilat formojnë bazën e elektrodinamikës klasike. Ligji është gjithashtu i lidhur ngushtë më ligjin e Kulombit. Ky ligj u formulua nga Karl Frederik Gaus në 1835, por nuk u publikua deri në 1867.

Ligji i Gausit ka dy forma, një formë integrale dhe një formë diferencialë. Ato janë të lidhura nga teorema e divergjencës, e cila ndonjëherë gjithashtu quhet "teorema e Gausit". Seicila nga format mund të shprehet në dy mënyra : Në terma të lidhjes mes fushës elektrike E dhe ngarkesës totalë, ose nëpërmjet fushës elektrike zhvendosese D dhe ngarkesës së lirë elektrikë. (Mënyra e parë jepet në paragrafin 1 dhe 2, kurse e dyta në paragrafin e tratë 3.)

Ligji i Gausit ka një marrëdhënie të ngjashme matematikë më një numër ligjesh në degë të tjera të fizikës. Si shembull mund të shikoni, Ligji i Gausit për magnetizmin dhe Ligji i Gausit për gravitetin. Në fakt, çdo "ligj më përpjesëtim të zhdrejtë më rrënjë katrorë" mund të formulohet në një mënyrë të ngjshme më ligjin e Gausit : Për shembull, ligji i Gausit vetë vjen nga ligji i Kulombit, gjithashtu ligji i Gausit për Gravitetin vjen nga ligji gravitacional i Njutonit. Shikoni artikullin mbi teoremën e Divergjencës për më shumë detaje.

Ligji i Gausit mund të përdorët për të demonstruar mungesën e ngarkesë elektrikë brenda një kafazi të Faradeit që s'ka ngarkesë elektrikë. Ligji i Gausit është analogu elektrik i ligjit të Amperit, i cili merrte më magnetizmin. Të dyja ekuacionet janë të përfshira në ekuacionet e Maksuellit.

Në formën integrale (në njësi SI), ligji pohon së, për çdo volum V në një hapësirë, më sipërfaqe S, ekuacioni i mëposhtëm është i vërtetë :

${\displaystyle \Phi _{E,S}={\frac {Q_{V}}{\varepsilon _{0}}}}$ 

ku

• ${\displaystyle \Phi }$ _E,S, i quajtur "fluksi elektrik parmës S", përcaktohet nga ${\displaystyle \Phi _{E,S}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$ , ku ${\displaystyle \mathbf {E} }$  është fusha elektrike, dhe ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$  është sipërfaqja diferencialë e sipërfaqes ${\displaystyle S}$  më një normalë të sipërfaqes që drejtohet për nga jashtë sipërfaqes, dukë përcaktuar drejtimin (Shiko integralet e sipërfaqes për më shumë detaje).
• ${\displaystyle Q_{V}}$  është ngarkesa elektrike totalë në një volum V, që përfshin si ngarkesën e lirë ashtu edhe ngarkesën e lidhur (ngarkesa e lidhur vjen në kontekstin e materialëve dielektrike ; shiko më poshtë).
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$  është konstantja elektrikë, një njësi themelorë fizikë.

Aplikimi i formës integrale

Në qoftese fusha elektrikë dihet kudo, ligji i Gausit e bën shumë të lehtë në principgjetje e shpërndarjes së ngarkesës elektrikë : Ngarkesa në ço rajon mund të gjendët dukë integruar fushën elektrikë për të gjetur fluksin.

Megjithatë shumë herë, është e kundërta e këtij problemi që duhet të zgjidhet : Shpërndarja e ngarkesës elektrikë është e njohur dhe fusha elektrikë shte ajo që duhet llogaritur. Kjo është shumë më e vështirë, sepse edhe nëse dini fluksin e përgjithshëm që kalon përmes një sipërfaqeje, kjo s'jep nonje informacion për fushën elektrikë e cila mundët të hyjë e të dali nga sipërfaqjan në forma shumë të komplikuara.

Një përjashtim nga ky ligj është së ekziston një simetri në rastin, kur në dimë së fusha elektrikë kalon nëpërmjet një sipërfaqeje në një mënyrë uniformë. Atëherë, neqoftese fluksi total njihet, vetë fusha mund të mirret në çdo pikë. Raste të zakonshme ku kjo simetri mund të shfrytëzohet janë trupa më simetri cilindrikë, planare apo sferikë. Shikoni artikullin mbi sipërfaqet Gausiane për shembuj ku kjo simetri shfrytëzohet për llogaritjen e fushës elektrikë.

Në formë diferencialë, ligji i Gausit pohon :

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ 

ku :

• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$  është divergjenca,
• E është fusha elektrike,
• ${\displaystyle \rho }$  është densiteti i përgjithshëm i ngarkesës elektrikë (në njësi C/m³), që përfshin ngarkesë e lirë dhe të lidhur.
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$  është konstantja elektrikë, një njësi themelorë fizikë.

Kjo është ekuivalentë nga pikëpamja matematikë më formën integrale për shkak të teoremës së divergjencës.

Forma Integrale

Forma Diferencialë

Prova e ekuivalencës

Në materialë linearë

Në materialë linearë homogjenë, izotrope, joshpërhapse, eksiton një formë e bukur dhe e thjeshtë mes E dheD :

${\displaystyle \varepsilon \mathbf {E} =\mathbf {D} }$ 

ku ${\displaystyle \varepsilon }$  është permitiviteti i materialit. Në këto rrethana, ekziston një çift formulimi ekuivalent për ligjin e Gausit :

${\displaystyle \Phi _{E,S}={\frac {Q_{V,\mathrm {free} }}{\varepsilon }}}$ 
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}}$ 

• Ekuacionet e Maksuellit
• Karl Frederik Gaus
• Teorema e divergjencës
• Fluksi

• Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics, 3rd ed., New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.