Impedanca Elektrike

Rezistenca e plotë elektrike zgjeron konceptin e rezistencës elektrike për qarqet me rrymë alternative (AC), duke përshkruar jo vetëm amplitudën relative midis tensionit dhe rrymës elektrike në një çast të caktuar, por gjithashtu ajo jep edhe fazën relative. Kur në qarkun elektrik kalon rryma e vazhduar (DC), nuk kemi dallime mes rezistencës së plotë (impedancës) dhe rezistenca elektrike, kjo e fundit mund të mendohet si rezistencë me kënd fazë zero.

Simboli për rezistencën e plotë është ${\displaystyle \scriptstyle Z}$ dhe kjo paraqitet duke shkruar madhësinë dhe fazën e saj në formën ${\displaystyle \scriptstyle |Z|\angle \theta }$. Nga ana tjetër, paraqitja me anë të numrave kompleksë është më e fuqishme kur marrim në ananlizë qarkun. Termi (impedanca) rezistencë e plotë u vendos nga Oliver Heaviside në korrik të 1886. Arthur Kennelly ishte i pari që e paraqiti madhësinë e impedancës elektrike me anë të numrave kompleks më 1893.

Rezistencë e plotë është e përcaktuar si raporti në fushën e frekuencave i tensionit (voltazhit) me rrymën elektrike. Me fjalë të tjera, ajo përcaktohet si raporti tension-rrymë për një eksponencial kompleks të vetëm në një frekuencë të veçantë ω. Në përgjithësi, rezistencë e plotë do të jetë një numër kompleks, me të njëjtat njësi si rezistenca elektrike, për të cilat njësia SI është Ohm. Për një valë sinusoidale korrenti hyrëse ose tensioni, forma polare e impedancës elektrike komplekse (rezistencë së plotë) jep lidhjen midis amplitudës dhe fazës së tensionit (voltazhit) dhe rrymës elektrike. Në veçanti,

• Madhësia e rezistencës së plotë komplekse është raporti i amplitudës së tensionit me amplitudën e rrymës elektrike.
• Faza e rezistencës së plotë komplekse është zhvendosja fazore nga e cila rryma elektrike është para tensionit.

E anasjellta e rezistencës së plotë është pranueshmëria (dmth, pranueshmëria është raporti i rrymës elektrike me tensionin, dhe kjo zakonisht merr njësin; siemens , dikur e quajtur mho).

Impedanca paraqitet si një madhësi komplekse ${\displaystyle \scriptstyle Z}$  kështu që termi impedanca komplekse përdoret zakonisht në vend të termit rezistenca e plotë. Një formë tjetër është forma polare e cila tregon si madhësinë (modulin) ashtu edhe fazën e rezistencës.

${\displaystyle \ Z=|Z|e^{j\theta }\quad }$ 

ku pjesa reale e impedancës është rezistenca ${\displaystyle \scriptstyle R}$  dhe pjesa imagjinare është reaktanca ${\displaystyle \scriptstyle X}$ .

Kur impedancat kërkohet të mblidhen ose të zbriten forma karteziane është më e përdorshme, kurse kur këto madhësi duhet të shumëzohen ose pjesëtohen llogaritjet bëhen më të lehta kur përdorim formën polare. Llogaritjet që bëhen në qarqe, siç është gjetja e impedancës së përgjithshme të dy impedancave që janë në paralel, kërkon që ne të konvertojmë midis të dyja formave disa herë përgjatë llogaritjes. Konvertimi midis të dyja formave ndjek rregullat e konvertimit për numrat kompleks.

 

Koncepti i impedancës elektrike mund të kuptohet duke e zëvendësuar atë tek Ligji i Omit.

${\displaystyle \ V=IZ=I|Z|e^{j\theta }\quad }$ 

Madhësia e impedancës elektrike ${\displaystyle \scriptstyle |Z|}$  vepron si rezistencë, duke dhënë një rënie në amplitudën e tensionit përgjatë një ${\displaystyle \scriptstyle Z}$  për një rrymë elektrike të caktuar ${\displaystyle \scriptstyle I}$ . Faktori i fazës tregon se rryma elektrike është prapa tensionit me një fazë ${\displaystyle \scriptstyle \theta }$  (dmth. në fushën kohore, sinjal i korrentit është i zhvendosur ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\theta }{2\pi }}T}$  në të djathtë në lidhje me sinjalin e tensionit).

Ashtu si impedanca elektrike e zgjat ligjin e omit tek qarqet me rrymvë alternative (AC), rezultate të tjera nga analiza eqarqeve me rrymë të vazhduar (DC) si ndarja e tensionit, ndarja e rrymës, Teorema e Theveninit, dhe Teorema e Nortonit, mund të zbatohen për qarqet AC duke zëvendësuar rezistencën elektrike me impedancën elektrike.

 

Në mënyrë që të thjeshtojmë llogaritjet ,valët sinusoidale të voltazhit dhe korrentit zakonisht jepen si funksione me vlera komplekse me varësi kohore të dhëna nga ${\displaystyle \scriptstyle V}$  dhe ${\displaystyle \scriptstyle I}$ .

${\displaystyle \ V=|V|e^{j(\omega t+\phi _{V})}}$ 

${\displaystyle \ I=|I|e^{j(\omega t+\phi _{I})}}$ 

Impedanca përcaktohet si raporti i këtyre dy madhësive.

${\displaystyle \ Z={\frac {V}{I}}}$ 

Duke zëvendësuar ligjin e Omit marrim

${\displaystyle {\begin{aligned}|V|e^{j(\omega t+\phi _{V})}&=|I|e^{j(\omega t+\phi _{I})}|Z|e^{j\theta }\\&=|I||Z|e^{j(\omega t+\phi _{I}+\theta )}\end{aligned}}}$ 

Duke vënë re se kjo duhet të jetë e vërtetë për të gjitha ${\displaystyle t}$ , barazojmë madhësitë dhe fazat për të marrë

${\displaystyle \ |V|=|I||Z|\quad }$ 

${\displaystyle \ \phi _{V}=\phi _{I}+\theta \quad }$ 

Ekuacioni i parë është ekuacioni i ligjit të Omit i zbatuar tek amplitudat e tensionit dhe rrymës elektrike, kurse ekuacioni i dytë përcakton lidhjen midis fazave të këtyre madhësive.

Validiteti i paraqitjes komplekse

Paraqitja me anë të eksponencialeve kompleksë bëhet e mundur nga Formula e Ojlerit):

${\displaystyle \ \cos(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}{\Big [}e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}{\Big ]}}$ 

pra. një funksion sinusoidal me vlerë reale (i cili mund të paraqesë një formëvalore tensioni ose korrenti) mund të paraqitet si shuma e dy funksioneve komplekse. Nga parimi i mbivendosjes,ne mund të analizojmë sjelljen en një sinusoidi në anën e djathtë duke vënë re se ai jepet nga shuma e dy termave komplekse në anën e djathtë. Me anë të simetrisë, ne duhet të bëjmë vetëm analizën e anës së djathtë ; rezultatet do jenë identike për anën tjetër. Në fund të llogaritjeve ne arrimë tek funksioni sinusoidal me vlerë reale duke vënë re se

${\displaystyle \ \cos(\omega t+\phi )=\Re {\Big \{}e^{j(\omega t+\phi )}{\Big \}}}$ 

Me fjalë të tjera , duhet të marrim vetë pjesën reale të rezultatit të mësipërm.

Fazorët

Një fazor është një numër kompleks konstant, zakonisht i dhënë në formë eksponenciale, i cili paraqet amplitudën komplekse (madhësinë dhe fazën) e funksionit sinusoidal në kohë. Fazorët përdoren nga inxhinierët elektrikë për thjeshtësimin e llogaritjeve që përdorin funksione sinudoidale, për shkak se këto mjete matematike mund të reduktojnë një ekuacion diferencial në një ekuacion algjebrik.